Gerçek sayı aralıkları, matematikte bir sayı doğrusu üzerindeki belirli bir bölgeyi ifade etmek için kullanılır. Bu aralıklarla toplama, çıkarma, kesişim, birleşim gibi işlemler yapabiliriz.
Öncelikle temel aralık türlerini hatırlayalım:
İki aralığın ortak elemanlarının kümesine kesişim denir ve ∩ sembolü ile gösterilir.
Örnek: A = [2, 5] ve B = [3, 7] aralıklarının kesişimi:
A ∩ B = [3, 5]
Çünkü her iki aralıkta da bulunan sayılar 3'ten 5'e kadar olan sayılardır (3 ve 5 dahil).
İki aralığın tüm elemanlarının birleşimine birleşim denir ve ∪ sembolü ile gösterilir.
Örnek: A = [1, 4] ve B = [3, 6] aralıklarının birleşimi:
A ∪ B = [1, 6]
Çünkü A ve B aralıklarının tüm elemanları 1'den 6'ya kadar uzanmaktadır.
Bir aralığa sabit bir sayı eklediğimizde veya çıkardığımızda, aralığın sınırları kayar.
Örnek: A = [2, 5] aralığına 3 ekleyelim:
A + 3 = [2+3, 5+3] = [5, 8]
Örnek: B = (1, 4) aralığından 2 çıkaralım:
B - 2 = (1-2, 4-2) = (-1, 2)
Bu işlemleri yaparken daima sayı doğrusu üzerinde düşünmek ve görselleştirmek, işlemleri daha iyi anlamamıza yardımcı olur.
Gerçek sayı aralıkları, matematikte bir sayı doğrusu üzerindeki belirli bir bölgeyi ifade etmek için kullanılır. Bu aralıklarla toplama, çıkarma, kesişim, birleşim gibi işlemler yapabiliriz.
Öncelikle temel aralık türlerini hatırlayalım:
İki aralığın kesişimi, her iki aralıkta da bulunan ortak elemanlardan oluşur. Kesişim işareti \( \cap \) ile gösterilir.
Örnek: A = [2, 6] ve B = (4, 8) aralıklarının kesişimini bulalım.
İki aralığın birleşimi, aralıklardan en az birinde bulunan tüm elemanları içerir. Birleşim işareti \( \cup \) ile gösterilir.
Örnek: C = (1, 4] ve D = [3, 7) aralıklarının birleşimini bulalım.
Aralıkları toplarken, her iki aralıktan alınan elemanların toplamlarının oluşturduğu yeni aralığı buluruz.
Örnek: E = [1, 3] ve F = [2, 4] aralıklarını toplayalım.
Aralık çıkarma işleminde ise, birinci aralıktaki elemanlardan ikinci aralıktaki elemanların çıkarılmasıyla oluşan yeni aralığı buluruz.
Örnek: G = [5, 8] ve H = [1, 3] aralıklarını çıkaralım (G - H).
Soru 1: A = [-2, 5) ve B = (1, 7] kümeleri veriliyor. A ∪ B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
a) [-2, 7] b) (-2, 7) c) [-2, 7) d) (-2, 7] e) [-2, 5)
Cevap: a) [-2, 7]
Çözüm: Birleşim kümesi her iki kümenin tüm elemanlarını içerir. A kümesi -2'den (dahil) 5'e kadar (hariç), B kümesi 1'den (hariç) 7'ye kadar (dahil) sayıları kapsar. Birleşim sonucu en küçük değer -2 (dahil), en büyük değer 7 (dahil) olur.
Soru 2: C = {x | -3 < x ≤ 4, x ∈ R} ve D = {x | 0 ≤ x < 6, x ∈ R} kümeleri veriliyor. C ∩ D kümesinin belirttiği aralık nedir?
a) [0, 4] b) (0, 4) c) [0, 4) d) (0, 6) e) [-3, 6]
Cevap: a) [0, 4]
Çözüm: Kesişim kümesi her iki kümede de bulunan ortak elemanlardan oluşur. C = (-3, 4] ve D = [0, 6) olduğundan, ortak elemanlar 0'dan (dahil) 4'e kadar (dahil) olan sayılardır.
Soru 3: E = (-∞, 3] ve F = (-1, ∞) kümeleri veriliyor. E - F fark kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
a) (-∞, -1] b) (-∞, -1) c) (-∞, 3] d) [3, ∞) e) (-1, 3]
Cevap: a) (-∞, -1]
Çözüm: E - F = E ∩ F' şeklinde ifade edilir. F' = (-∞, -1] olduğundan, E ile F'nin kesişimi (-∞, -1] aralığıdır. Bu, E'de olup F'de olmayan elemanları verir.
Soru 4: A = [-4, 2) ve B = (-1, 3] kümeleri veriliyor. (A ∩ B)' kümesinin R'deki tümleyeni aşağıdakilerden hangisidir?
a) (-∞, -4) ∪ [2, ∞) b) (-∞, -1] ∪ (2, ∞) c) (-∞, -4) ∪ [3, ∞) d) (-∞, -1) ∪ [2, ∞) e) (-∞, -4] ∪ (2, ∞)
Cevap: b) (-∞, -1] ∪ (2, ∞)
Çözüm: Önce A ∩ B = (-1, 2) bulunur. Tümleyeni alındığında, bu aralığın dışında kalan kısımlar (-∞, -1] ∪ [2, ∞) olur. Ancak -1 dahil, 2 hariç olduğundan doğru ifade (-∞, -1] ∪ (2, ∞) şeklindedir.
