Grafiği verilen parabolün denklemini yazma

Question

Parabolün tepe noktasını ve kollarının yönünü buldum ama denklemi yazarken sabit terimi nasıl belirleyeceğimi tam anlayamadım. Grafikte x eksenini kestiği noktaları kullanmam gerektiğini biliyorum ama bu kısmı tam oturtamadım.

Answer 1

📈 Grafiği Verilen Parabolün Denklemini Yazma

Bir parabolün grafiğini incelediğimizde, onun denklemini bulmak için genellikle tepe noktası formunu veya kökleri (x eksenini kestiği noktaları) kullanırız. İki ana yöntem vardır:

🎯 1. Yöntem: Tepe Noktası Formunu Kullanma

Eğer grafikten parabolün tepe noktasını (r, k) ve başka bir noktayı (örneğin, y-keseni) biliyorsak, tepe noktası formunu kullanırız:

\( y = a(x - r)^2 + k \)\)

Burada:

• 📍 (r, k) parabolün tepe noktasıdır.
• 🔢 a katsayısını bulmak için, denklemde tepe noktası ve bilinen diğer noktanın koordinatlarını yerine koyarız.

💡 Örnek:

Tepe noktası (2, 1) olan ve (0, 9) noktasından geçen parabolün denklemini yazalım.

1. Denklemi yaz: \( y = a(x - 2)^2 + 1 \)

2. (0, 9) noktasını yerine koy: \( 9 = a(0 - 2)^2 + 1 \)

3. Denklemi çöz: \( 9 = 4a + 1 \) → \( 4a = 8 \) → \( a = 2 \)

4. Denklemi tamamla: \( y = 2(x - 2)^2 + 1 \)\)

🎯 2. Yöntem: Kökleri (x-Kesenleri) Kullanma

Eğer parabol x eksenini iki noktada kesiyorsa ve bu noktaları biliyorsak (örneğin, x = p ve x = q), çarpanlara ayırma formunu kullanırız:

\( y = a(x - p)(x - q) \)\)

Burada:

• 📍 p ve q parabolün x eksenini kestiği noktalardır (kökler).
• 🔢 a katsayısını bulmak için, denklemde kökler ve bilinen başka bir noktanın (tepe noktası veya y-keseni gibi) koordinatlarını yerine koyarız.

💡 Örnek:

X eksenini (-1, 0) ve (3, 0) noktalarında kesen ve (0, -6) noktasından geçen parabolün denklemini yazalım.

1. Denklemi yaz: \( y = a(x - (-1))(x - 3) = a(x + 1)(x - 3) \)

2. (0, -6) noktasını yerine koy: \( -6 = a(0 + 1)(0 - 3) \)

3. Denklemi çöz: \( -6 = a(1)(-3) \) → \( -6 = -3a \) → \( a = 2 \)

4. Denklemi tamamla: \( y = 2(x + 1)(x - 3) \)\)

İstersen standart forma çevirebilirsin: \( y = 2(x^2 - 2x - 3) = 2x^2 - 4x - 6 \)

📌 Adım Adım İzlenecek Yol:

1. 🔍 Grafiği İncele: Tepe noktasını, x-kesenlerini ve y-kesenini belirle.
2. 🎯 Yöntemi Seç: Hangi bilgiler daha belirgin? Tepe noktası mı, yoksa x-kesenleri mi?
3. ✏️ Formülü Yaz: Seçtiğin yönteme uygun formülü yaz.
4. 🔢 'a' Katsayısını Bul: Bilinen bir noktayı (genellikle y-keseni) denklemde yerine koyarak 'a' değerini hesapla.
5. ✅ Denklemi Tamamla: Bulduğun 'a' değerini formülde yerine koy ve gerekirse standart forma getir.

⚠️ Dikkat Edilmesi Gerekenler:

• ➡️ Parabolün kolları yukarı doğru ise a > 0, aşağı doğru ise a < 0 olur.
• ➡️ Tepe noktası parabolün simetri ekseni üzerindedir.
• ➡️ Eğer parabol x eksenine teğet ise, çakışık iki kökü vardır (ayrımcı sıfırdır).