Havuz problemleri formülü

Question

Havuz problemlerinde muslukların tek başına doldurma ve boşaltma süreleri verildiğinde, havuzun tamamının dolma süresini nasıl bulacağımı karıştırıyorum. Özellikle muslukların birlikte açık olduğu durumlarda formülü kurmakta zorlanıyorum.

Answer 1

# Havuz Problemleri Formülü - Matematik Ders Notu

📚 Havuz Problemleri Nedir?

Havuz problemleri, işçi-havuz problemleri olarak da bilinen, matematikte oran-orantı ve birim zamanda yapılan iş kavramları üzerine kurulu klasik bir konudur. Bu problemlerde, farklı kapasitelerdeki muslukların doldurma veya boşaltma hızları ile havuzun dolma/boşalma süreleri arasındaki ilişki sorgulanır.

⚙️ Temel Mantık ve Formül

Havuz problemlerinin temelinde "birim zamanda yapılan iş" fikri yatar. Bir musluğun havuzu tek başına \( t \) saatte doldurduğunu düşünelim. Bu musluk 1 saatte havuzun \( \frac{1}{t} \)'lik kısmını doldurur. Bu, çözümün anahtar noktasıdır.

🔢 Ana Formül:

Bir havuzu dolduran veya boşaltan birden fazla musluk birlikte açıldığında, 1 saatte yapılan işler toplanır.

\[ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + ... + \frac{1}{t_n} - \frac{1}{b_1} - \frac{1}{b_2} ... = \frac{1}{T} \]

Burada:
• \( t \) : Doldurma süresi (saat)
• \( b \) : Boşaltma süresi (saat)
• \( T \) : Ortak süre (saat)
• Formülde dolduran musluklar pozitif (+), boşaltan musluklar negatif (-) işleme alınır.

🧮 Problem Türleri ve Çözüm Adımları

1. 🚰 İki Muslukla Doldurma

Örnek: Bir havuzu birinci musluk 6 saatte, ikinci musluk 12 saatte dolduruyor. İkisi birlikte açılırsa havuz kaç saatte dolar?

Çözüm:
1. saatteki iş: \( \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \)
2. \( \frac{1}{T} = \frac{1}{4} \) ise \( T = 4 \) saat.

2. 🚰🚰➡️ Dolduran ve Boşaltan Musluklar

Örnek: Bir havuzu A musluğu 8 saatte dolduruyor, B musluğu 24 saatte boşaltıyor. İkisi birlikte açılırsa havuz kaç saatte dolar?

Çözüm:
1. saatteki net iş: \( \frac{1}{8} - \frac{1}{24} = \frac{3}{24} - \frac{1}{24} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12} \)
2. \( \frac{1}{T} = \frac{1}{12} \) ise \( T = 12 \) saat.

3. ⏱️ Kısmi Süreler ve Kapama/Açmalar

Bu tür problemlerde musluklar belli süreler açık kalır. Her bir zaman aralığı ayrı hesaplanır ve havuzun o anki doluluk oranı takip edilir.

💡 Pratik Yöntemler ve Püf Noktalar

• 🎯 Ortak Kat Al: Süreler verildiğinde önce OKEK (ortak kat) alarak havuzun hacmini sembolik olarak belirlemek işi kolaylaştırır.
• ⏩ Örnek: 6 ve 12 saat → OKEK(6,12)=12 birim havuz.
  1. musluk saatte 12/6=2 birim, 2. musluk 12/12=1 birim doldurur.
  Birlikte: 2+1=3 birim/saat → 12/3=4 saat.
• ⚠️ Dikkat: Boşaltan musluk varsa, sonucun pozitif çıkması gerekir. Negatifse havuz hiç dolmaz!
• 🔁 Tamamlama Soruları: "Havuzun yarısı dolu iken..." gibi ifadelerde, doluluk oranını (örn: 1/2) çıkararak kalan kısmı hesapla.

📝 Özet Tablo

| Durum | Formül |
| :--- | :--- |
| İki dolduran musluk | \( \frac{1}{T} = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} \) |
| Bir dolduran, bir boşaltan | \( \frac{1}{T} = \frac{1}{t} - \frac{1}{b} \) |
| n tane musluk | \( \frac{1}{T} = \sum \frac{1}{t_i} - \sum \frac{1}{b_j} \) |

✅ Sonuç

Havuz problemleri, formülü doğru uygulandığında aslında basit bir birim iş toplamı mantığına dayanır. En önemli adım, her musluğun 1 saatlik iş kapasitesini (\( \frac{1}{süre} \)) doğru belirlemek ve bunları dolduran/boşaltan durumlarına göre toplamaktır. Bol pratikle bu problem türünde uzmanlaşmak mümkündür.