Konu: Bir İfadenin Polinom Olma Şartı
Bir ifadenin polinom olabilmesi için, değişkenin (genellikle x) kuvvetlerinin doğal sayı (0, 1, 2, 3, ...) olması gerekir. Ayrıca katsayılar reel sayı olmalıdır.
Dikkat Edilmesi Gereken Durumlar
Bir ifadenin polinom olmasını engelleyen başlıca durumlar şunlardır:
- Değişkenin bir kesirli üssünün olması (Örneğin: \( x^{1/2} \), \( x^{-3} \))
- Değişkenin bir negatif üssünün olması (Örneğin: \( x^{-2} \), \( x^{-5} \))
- Değişkenin üssünün değişken olması (Örneğin: \( x^n \), \( 2^x \))
- Değişkenin kök içinde olması (Örneğin: \( \sqrt{x} \), \( \sqrt[3]{x^2} \))
Soru Çözüm Adımları
"İfadesinin polinom olması için n kaç olmalıdır?" tarzındaki soruları çözmek için şu adımları izleyebilirsiniz:
- Terimleri İnceleyin: İfadedeki her bir terimi ayrı ayrı ele alın.
- Üsleri Kontrol Edin: Her terimdeki değişkenin üssünün bir doğal sayı olup olmadığını kontrol edin.
- Şartları Belirleyin: Üssün doğal sayı olması için "n" değerinin hangi değerleri alması gerektiğini bulun.
- Kesişimi Bulun: Tüm terimler için bulduğunuz şartların ortak çözümünü (kesişimini) alın.
Örnek Soru ve Çözümü
Soru: \( P(x) = 3x^{n-2} + 5x^{4-n} - 7 \) ifadesinin bir polinom olması için n doğal sayısı kaç olmalıdır?
Çözüm:
- Birinci terim: \( x^{n-2} \)
Bu terimin polinom olması için üs doğal sayı olmalı: \( n-2 \geq 0 \) → \( n \geq 2 \)
- İkinci terim: \( x^{4-n} \)
Bu terimin polinom olması için üs doğal sayı olmalı: \( 4-n \geq 0 \) → \( n \leq 4 \)
- Üçüncü terim: \( -7 \) (sabit terim, her zaman polinomdur)
Tüm terimlerin polinom olması için her iki şartın da sağlanması gerekir:
\( n \geq 2 \) ve \( n \leq 4 \)
Bu iki eşitsizliğin ortak çözümü: \( 2 \leq n \leq 4 \)
n bir doğal sayı olduğuna göre, n'nin alabileceği değerler: 2, 3, 4
Önemli Uyarılar
- Üslerin 0 veya pozitif tam sayı olması gerektiğini unutmayın.
- Katsayıların reel sayı olması yeterlidir, rasyonel veya irrasyonel olabilir.
- Birden fazla terim varsa, tüm terimlerin polinom terimi olması gerekir.
