İki nokta arası uzaklık 9. sınıf matematik

Question

Bu konuyu anlamakta biraz zorlanıyorum. Özellikle koordinat noktalarını formülde doğru yerine koyarken hata yapıyorum. Formülü ezberledim ama sorularda uygularken karıştırıyorum.

Answer 1

İki Nokta Arasındaki Uzaklık

Koordinat sisteminde iki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için bir formül kullanırız. Bu formül, Pisagor teoreminden türetilmiştir.

Formül

Koordinat düzleminde A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktaları verilsin. Bu iki nokta arasındaki uzaklık aşağıdaki formülle bulunur:

|AB| = \( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)

Formülün Mantığı

Bu formül aslında Pisagor teoreminin bir uygulamasıdır. İki noktayı birleştirdiğimizde, bu doğru parçası bir hipotenüs oluşturur. x eksenindeki fark bize bir dik kenarın (\(|x_2 - x_1|\)), y eksenindeki fark ise diğer dik kenarın (\(|y_2 - y_1|\)) uzunluğunu verir.

Örnek Soru ve Çözüm

Soru: A(2, 3) ve B(5, 7) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Çözüm:

• x₁ = 2, y₁ = 3
• x₂ = 5, y₂ = 7
• Formülde yerine koyalım:

|AB| = \( \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} \)

|AB| = \( \sqrt{(3)^2 + (4)^2} \)

|AB| = \( \sqrt{9 + 16} \)

|AB| = \( \sqrt{25} \)

|AB| = 5 birim

Özel Durumlar

• Aynı Nokta: İki nokta aynı ise (A(x₁, y₁) ve B(x₁, y₁)), aralarındaki uzaklık 0'dır.
• Eksenlere Paralel Doğrular:
  • İki noktanın y koordinatları aynı ise (yatay doğru), uzaklık |x₂ - x₁|'dir.
  • İki noktanın x koordinatları aynı ise (dikey doğru), uzaklık |y₂ - y₁|'dir.

Dikkat Edilmesi Gerekenler

• Koordinatları formülde yerine yazarken işlemlere dikkat edin.
• Kare alma işlemlerini doğru yapın.
• Sonucun karekök içinden çıkıp çıkmadığını kontrol edin.

Answer 2

İki Nokta Arası Uzaklık Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Koordinat düzleminde A(3, -1) ve B(-2, 5) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
a) 5   b) √61   c) 7   d) 8   e) √37
Cevap: b) √61
Çözüm: İki nokta arası uzaklık formülü: \( \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \)
\( |AB| = \sqrt{(-2-3)^2+(5-(-1))^2} = \sqrt{(-5)^2+6^2} = \sqrt{25+36} = \sqrt{61} \)

Soru 2: A(2, k) ve B(5, 1) noktaları arasındaki uzaklık 5 birim olduğuna göre, k'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
a) 2   b) 3   c) 4   d) 5   e) 6
Cevap: a) 2
Çözüm: \( \sqrt{(5-2)^2+(1-k)^2} = 5 \) → \( \sqrt{9+(1-k)^2} = 5 \)
Her iki tarafın karesi alınırsa: \( 9+(1-k)^2 = 25 \) → \( (1-k)^2 = 16 \)
\( 1-k = 4 \) veya \( 1-k = -4 \) → \( k = -3 \) veya \( k = 5 \)
Değerler toplamı: \( -3 + 5 = 2 \)

Soru 3: Köşe noktaları A(1, 2), B(4, 6) ve C(7, 2) olan üçgenin çevresi kaç birimdir?
a) 12   b) 14   c) 16   d) 18   e) 20
Cevap: c) 16
Çözüm: \( |AB| = \sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2} = \sqrt{9+16} = 5 \)
\( |BC| = \sqrt{(7-4)^2+(2-6)^2} = \sqrt{9+16} = 5 \)
\( |AC| = \sqrt{(7-1)^2+(2-2)^2} = \sqrt{36+0} = 6 \)
Çevre = \( 5 + 5 + 6 = 16 \)

Soru 4: A(-1, 3) noktasının orijine olan uzaklığı ile B(4, -2) noktasının orijine olan uzaklığının toplamı kaçtır?
a) 5√2   b) 10   c) 8√2   d) 12   e) 10√2
Cevap: e) 10√2
Çözüm: Bir noktanın orijine uzaklığı: \( \sqrt{x^2+y^2} \)
\( |OA| = \sqrt{(-1)^2+3^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10} \)
\( |OB| = \sqrt{4^2+(-2)^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)
Toplam: \( \sqrt{10} + 2\sqrt{5} = \sqrt{2×5} + 2\sqrt{5} = \sqrt{2}×\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = \sqrt{5}(\sqrt{2}+2) \)
Bu ifade \( 10\sqrt{2} \)'ye eşit değildir. Hesaplama hatası yapılmıştır. Doğru çözüm:
\( |OA| = \sqrt{(-1)^2+3^2} = \sqrt{10} \), \( |OB| = \sqrt{4^2+(-2)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)
\( \sqrt{10} + 2\sqrt{5} = \sqrt{2×5} + 2\sqrt{5} = \sqrt{2}×\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = \sqrt{5}(\sqrt{2}+2) \)
Bu ifade seçeneklerde yok. Soruyu kontrol edelim: A ve B noktaları orijine eşit uzaklıkta mı?
\( |OA| = \sqrt{(-1)^2+3^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10} \)
\( |OB| = \sqrt{4^2+(-2)^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)
Toplam: \( \sqrt{10} + 2\sqrt{5} \) seçeneklerde yok. Soruda hata var gibi görünüyor. Doğru cevap için seçenekler kontrol edilmeli.