Bir f: A → B fonksiyonu düşünelim. Bu fonksiyonun örten (sürjektif) olabilmesi için, B kümesindeki her elemanın, A kümesindeki en az bir eleman tarafından eşlenmesi gerekir. Başka bir deyişle, B kümesinde boşta eleman kalmamalıdır.
Bir f: A → B fonksiyonu için:
∀ y ∈ B için ∃ x ∈ A öyle ki f(x) = y ise, f fonksiyonu örtendir.
Bu tanımın anlamı şudur: B kümesinden (değer kümesi) seçtiğimiz herhangi bir y elemanı için, A kümesinde (tanım kümesi) öyle bir x elemanı bulabilmeliyiz ki, bu x elemanının f altındaki görüntüsü y olsun.
Örnek 1:
f: ℝ → ℝ, f(x) = x + 1
Bu fonksiyon örtendir. Çünkü herhangi bir y reel sayısı için, x = y - 1 reel sayısı vardır ve f(x) = f(y - 1) = (y - 1) + 1 = y olur.
Örnek 2:
f: ℝ → [0, ∞), f(x) = x2
Bu fonksiyon örtendir. Çünkü herhangi bir y ≥ 0 reel sayısı için, x = √y veya x = -√y reel sayıları vardır ve f(x) = (±√y)2 = y olur.
Örnek 1:
f: ℝ → ℝ, f(x) = x2
Bu fonksiyon örten değildir. Çünkü değer kümesi tüm reel sayılar olmasına rağmen, görüntü kümesi sadece pozitif reel sayılar ve sıfırdan oluşur. Örneğin, -1'in bu fonksiyon altında bir karşılığı yoktur.
Örnek 2:
f: ℝ → ℤ, f(x) = x
Bu fonksiyon örten değildir. Çünkü değer kümesi tam sayılar olmasına rağmen, tanım kümesi reel sayılardır ve her reel sayı bir tam sayıya eşlenemez.
Evet, eğer doğrusal fonksiyonun eğimi sıfır değilse ve tanım kümesi ile değer kümesi reel sayılar ise, fonksiyon örtendir.
Değer kümesinden rastgele bir eleman alın ve bu elemanın tanım kümesinde bir karşılığının olduğunu gösterin.
