📈 Türev: Fonksiyonların Değişim Oranı
Türev, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki anlık değişim hızını ifade eden temel bir matematiksel kavramdır. Bir başka deyişle, bir fonksiyonun grafiğine bir noktada çizilen teğetin eğimini verir.
🎯 Türevin Tanımı ve Limit İlişkisi
Bir \( f(x) \) fonksiyonunun \( a \) noktasındaki türevi, aşağıdaki limit ile tanımlanır:
\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \]
Bu ifade, "\( a \) noktasındaki değişim oranı"nın, \( h \) sıfıra yaklaşırken aldığı değerdir. Eğer bu limit varsa, fonksiyon o noktada türevlenebilirdir.
🧮 Temel Türev Kuralları
Türev alırken sıkça kullanılan kurallar şunlardır:
- ✅ Sabit Fonksiyon: \( f(x) = c \) ise \( f'(x) = 0 \)
- ✅ Kuvvet Kuralı: \( f(x) = x^n \) ise \( f'(x) = n \cdot x^{n-1} \)
- ✅ Sabitle Çarpım: \( [c \cdot f(x)]' = c \cdot f'(x) \)
- ✅ Toplam Kuralı: \( [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x) \)
- ✅ Fark Kuralı: \( [f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x) \)
- ✅ Çarpım Kuralı: \( [f(x) \cdot g(x)]' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \)
- ✅ Bölüm Kuralı: \( \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} \)
🔗 Zincir Kuralı (Bileşke Fonksiyonun Türevi)
Bir fonksiyon, başka bir fonksiyonun içine yerleştirilmişse (bileşke fonksiyon), türev almak için zincir kuralı kullanılır.
\( y = f(u) \) ve \( u = g(x) \) ise, \( y \)'nin \( x \)'e göre türevi:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]
Yani, \( [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
📊 Türevin Geometrik Yorumu
Türevin en önemli uygulamalarından biri geometridir.
- ➡️ Bir \( f(x) \) fonksiyonunun \( x = a \) noktasındaki türevi \( f'(a) \), fonksiyonun grafiğine bu noktada çizilen teğet doğrusunun eğimine eşittir.
- ➡️ Teğet denklemi bulunurken nokta-eğim formu kullanılır: \( y - f(a) = f'(a)(x - a) \)
📈📉 Artan ve Azalan Fonksiyonlar
Bir fonksiyonun türevi, fonksiyonun davranışı hakkında bize bilgi verir.
- 📈 Artan Fonksiyon: Bir \( I \) aralığında her \( x_1 < x_2 \) için \( f(x_1) < f(x_2) \) ise fonksiyon artandır. Bu aralıkta \( f'(x) > 0 \)'dır.
- 📉 Azalan Fonksiyon: Bir \( I \) aralığında her \( x_1 < x_2 \) için \( f(x_1) > f(x_2) \) ise fonksiyon azalandır. Bu aralıkta \( f'(x) < 0 \)'dır.
🏔️ Yerel Ekstremum Noktaları
Fonksiyonun yerel maksimum veya minimum değer aldığı noktalara yerel ekstremum noktaları denir.
- ⛰️ Yerel Maksimum: Bir \( a \) noktası, kendisine yakın noktalardan daha büyük değer alıyorsa, \( f(a) \) yerel maksimumdur.
- 🕳️ Yerel Minimum: Bir \( a \) noktası, kendisine yakın noktalardan daha küçük değer alıyorsa, \( f(a) \) yerel minimumdur.
Birinci Türev Testi: Bir \( f \) fonksiyonu \( x = a \) noktasında sürekli ise ve bu noktanın solunda \( f'(x) > 0 \), sağında \( f'(x) < 0 \) ise \( f(a) \) bir yerel maksimumdur. Tam tersi durumda ise yerel minimumdur.
🔄 Maksimum-Minimum Problemleri
Türev, gerçek hayattaki birçok optimizasyon problemini (en büyük alan, en küçük maliyet vb.) çözmek için kullanılır.
Çözüm Adımları:
- 1️⃣ Problemde maksimize veya minimize edilecek ifade belirlenir (Amaç fonksiyonu).
- 2️⃣ Değişkenler arasındaki ilişki kurulur.
- 3️⃣ Amaç fonksiyonu tek değişkene bağlı olarak yazılır.
- 4️⃣ Fonksiyonun türevi alınır ve kritik noktalar bulunur (\( f'(x) = 0 \)).
- 5️⃣ Bulunan noktaların maksimum/minimum olup olmadığı kontrol edilir.
