Soru:
Bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin tanımını kullanarak, \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) fonksiyonunun \( x = 2 \) noktasındaki türevini limit tanımı ile bulunuz.
Çözüm:
💡 Türevin limit tanımı: \( f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \)
- ➡️ İlk adım: \( a = 2 \)'yi ve fonksiyonu tanıma yerleştirelim.
\( f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} \)
- ➡️ İkinci adım: \( f(2+h) \) ve \( f(2) \)'yi hesaplayalım.
\( f(2+h) = 3(2+h)^2 - 2(2+h) + 1 = 3(4 + 4h + h^2) - 4 - 2h + 1 = 12 + 12h + 3h^2 - 4 - 2h + 1 = 3h^2 + 10h + 9 \)
\( f(2) = 3(4) - 2(2) + 1 = 12 - 4 + 1 = 9 \)
- ➡️ Üçüncü adım: Bu değerleri limit ifadesinde yerine koyalım.
\( f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{(3h^2 + 10h + 9) - 9}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{3h^2 + 10h}{h} \)
- ➡️ Dördüncü adım: Paydaki ifadeyi sadeleştirip limiti alalım.
\( f'(2) = \lim_{h \to 0} (3h + 10) = 10 \)
✅ Sonuç: \( f'(2) = 10 \)
