Soru:
\( y = \sqrt[3]{(5x^2 + 1)^2} \) fonksiyonunun türevini bulunuz. (İpucu: Fonksiyonu üstel formatta yazıp zincir kuralını uygulayınız.)
Çözüm:
💡 Zincir kuralı için fonksiyonu dış ve iç fonksiyon olarak ayırmak gerekir.
- ➡️ İlk adım: Fonksiyonu üstel formatta yeniden yazalım.
\( y = ((5x^2 + 1)^2)^{1/3} = (5x^2 + 1)^{2/3} \)
- ➡️ İkinci adım: Zincir kuralını uygulayalım. \( y = u^{2/3} \) ve \( u = 5x^2 + 1 \) diyelim.
\( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \)
- ➡️ Üçüncü adım: Türevleri ayrı ayrı hesaplayalım.
\( \frac{dy}{du} = \frac{2}{3} u^{(2/3)-1} = \frac{2}{3} u^{-1/3} \)
\( \frac{du}{dx} = 10x \)
- ➡️ Dördüncü adım: Zincir kuralı formülünde yerine koyup sadeleştirelim.
\( \frac{dy}{dx} = \frac{2}{3} (5x^2 + 1)^{-1/3} \cdot (10x) \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{20x}{3(5x^2 + 1)^{1/3}} \)
✅ Sonuç: \( y' = \frac{20x}{3\sqrt[3]{5x^2 + 1}} \)
