Soru:
\( f(x) = \frac{3x - 1}{x^2 + 2} \) fonksiyonunun türevini bölüm kuralını kullanarak bulunuz.
Çözüm:
💡 Bölüm kuralı: \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} \)
- ➡️ İlk adım: Pay ve paydayı belirleyelim.
\( u = 3x - 1 \) ve \( v = x^2 + 2 \)
- ➡️ İkinci adım: \( u \) ve \( v \)'nin ayrı ayrı türevlerini alalım.
\( u' = 3 \)
\( v' = 2x \)
- ➡️ Üçüncü adım: Bölüm kuralı formülünde yerine koyalım.
\( f'(x) = \frac{(3)(x^2 + 2) - (3x - 1)(2x)}{(x^2 + 2)^2} \)
- ➡️ Dördüncü adım: Paydaki ifadeyi açıp sadeleştirelim.
\( f'(x) = \frac{3x^2 + 6 - (6x^2 - 2x)}{(x^2 + 2)^2} \)
\( f'(x) = \frac{3x^2 + 6 - 6x^2 + 2x}{(x^2 + 2)^2} \)
\( f'(x) = \frac{-3x^2 + 2x + 6}{(x^2 + 2)^2} \)
✅ Sonuç: \( f'(x) = \frac{-3x^2 + 2x + 6}{(x^2 + 2)^2} \)
