İki nokta arası uzaklık soruları ve çözümleri

Question

Bu konuyu genel olarak anlıyorum ama soru çözerken formülde mutlak değer ve kare alma işlemlerinde hata yapıyorum. Özellikle noktaların koordinatları negatif verildiğinde işlem karıştırıyorum. Farklı soru tiplerini görmek istiyorum.

Answer 1

İki Nokta Arası Uzaklık Formülü

Koordinat sisteminde verilen iki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için aşağıdaki formülü kullanırız:

\( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)

Burada:

• \( d \): İki nokta arasındaki uzaklık
• \( (x_1, y_1) \): Birinci noktanın koordinatları
• \( (x_2, y_2) \): İkinci noktanın koordinatları

Örnek Soru 1

Soru: A(2, 3) ve B(5, 7) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Çözüm:

• Formülü uygulayalım: \( d = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} \)
• \( d = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} \)
• \( d = \sqrt{9 + 16} \)
• \( d = \sqrt{25} \)
• \( d = 5 \) birim

Örnek Soru 2

Soru: K(-1, 4) ve L(2, -2) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Çözüm:

• Formülü uygulayalım: \( d = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-2 - 4)^2} \)
• \( d = \sqrt{(2 + 1)^2 + (-6)^2} \)
• \( d = \sqrt{(3)^2 + 36} \)
• \( d = \sqrt{9 + 36} \)
• \( d = \sqrt{45} \)
• \( d = 3\sqrt{5} \) birim

Örnek Soru 3

Soru: A(a, 3) ve B(2, -1) noktaları arasındaki uzaklık 5 birim olduğuna göre, a'nın alabileceği değerler nelerdir?

Çözüm:

• Formülü yazalım: \( 5 = \sqrt{(2 - a)^2 + (-1 - 3)^2} \)
• \( 5 = \sqrt{(2 - a)^2 + (-4)^2} \)
• \( 5 = \sqrt{(2 - a)^2 + 16} \)
• Her iki tarafın karesini alalım: \( 25 = (2 - a)^2 + 16 \)
• \( 25 - 16 = (2 - a)^2 \)
• \( 9 = (2 - a)^2 \)
• \( 2 - a = 3 \) veya \( 2 - a = -3 \)
• \( a = -1 \) veya \( a = 5 \)
• a'nın alabileceği değerler: -1 ve 5

Örnek Soru 4

Soru: A(3, 1), B(6, 5) ve C(x, y) noktaları veriliyor. |AC| = |BC| olduğuna göre, C noktalarının geometrik yer denklemini bulunuz.

Çözüm:

• |AC| = |BC| ise C noktası A ve B'ye eşit uzaklıktadır.
• Bu durum C noktalarının [AB] doğru parçasının orta dikmesi üzerinde olduğunu gösterir.
• Uzaklıkları eşitleyelim: \( \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 1)^2} = \sqrt{(x - 6)^2 + (y - 5)^2} \)
• Her iki tarafın karesini alalım: \( (x - 3)^2 + (y - 1)^2 = (x - 6)^2 + (y - 5)^2 \)
• Parantezleri açalım: \( x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2y + 1 = x^2 - 12x + 36 + y^2 - 10y + 25 \)
• Sadeleştirelim: \( -6x - 2y + 10 = -12x - 10y + 61 \)
• Terimleri birleştirelim: \( 6x + 8y = 51 \)
• Geometrik yer denklemi: \( 6x + 8y = 51 \)

Pratik Yöntemler ve İpuçları

• İki nokta aynı yatay doğru üzerindeyse (y'ler eşit), uzaklık: \( |x_2 - x_1| \)
• İki nokta aynı dikey doğru üzerindeyse (x'ler eşit), uzaklık: \( |y_2 - y_1| \)
• Kök içindeki ifade negatif olamayacağı için, çıkan sonucun pozitif olması gerekir
• Kök dışına çıkaramadığınız sayıları köklü ifade olarak bırakabilirsiniz

Answer 2

İki Nokta Arası Uzaklık Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Koordinat düzleminde A(3, -1) ve B(-2, 5) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
a) 5   b) √61   c) 7   d) 8   e) √85
Cevap: b) √61
Çözüm: İki nokta arası uzaklık formülü: √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²] = √[(-2-3)² + (5-(-1))²] = √[(-5)² + (6)²] = √[25 + 36] = √61

Soru 2: A(2k-1, 4) ve B(3, k+2) noktaları arasındaki uzaklık √13 birim olduğuna göre, k'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
a) 1   b) 2   c) 3   d) 4   e) 5
Cevap: b) 2
Çözüm: √[(3-(2k-1))² + ((k+2)-4)²] = √13 → √[(4-2k)² + (k-2)²] = √13 → (4-2k)² + (k-2)² = 13 → 16-16k+4k² + k²-4k+4 = 13 → 5k²-20k+20=13 → 5k²-20k+7=0 → k'ler toplamı = 20/5 = 4

Soru 3: Köşe koordinatları A(1, 2), B(4, 6) ve C(7, 2) olan ABC üçgeninin çevresi kaç birimdir?
a) 12   b) 14   c) 16   d) 18   e) 20
Cevap: c) 16
Çözüm: |AB| = √[(4-1)²+(6-2)²] = √(9+16) = 5, |BC| = √[(7-4)²+(2-6)²] = √(9+16) = 5, |AC| = √[(7-1)²+(2-2)²] = √36 = 6. Çevre = 5+5+6 = 16