İki Nokta Arasındaki Uzaklık Koordinat Sisteminde Nasıl Bulunur?

Question

Koordinat düzleminde iki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için formülü biliyorum ama hangi noktaların x, hangisinin y olduğunu karıştırıyorum. Özellikle karenin altını alırken işaret konusunda bazen hata yapıyorum. Formülü ezbere bilsem de uygulama kısmında zorlanıyorum.

Answer 1

# İki Nokta Arasındaki Uzaklık Koordinat Sisteminde Nasıl Bulunur?

📐 Koordinat Geometrisinin Temel Formülü

Koordinat sisteminde iki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için Pisagor Teoremi'nden yararlanırız. İki boyutlu düzlemde, koordinatları A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) olan iki nokta arasındaki uzaklık şu formülle hesaplanır:

Uzaklık = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]

🧮 Formülün Matematiksel İspatı

Bu formülün temelinde Pisagor Teoremi yatar. İki noktayı birleştiren doğru parçası, dik kenarları (x₂ - x₁) ve (y₂ - y₁) olan bir dik üçgenin hipotenüsüdür. Pisagor Teoremi'ne göre:

Hipotenüs² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²

Buradan da uzaklık = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] sonucuna ulaşırız.

🔢 Adım Adım Hesaplama Yöntemi

📝 1. Adım: Koordinatları Belirleme

• 🎯 İlk noktanın koordinatlarını (x₁, y₁) olarak yazın
• 🎯 İkinci noktanın koordinatlarını (x₂, y₂) olarak yazın

📝 2. Adım: Farkları Hesaplama

• ➖ x₂ - x₁ farkını bulun
• ➖ y₂ - y₁ farkını bulun

📝 3. Adım: Karelerini Alma

• ✖️ x farkının karesini alın: (x₂ - x₁)²
• ✖️ y farkının karesini alın: (y₂ - y₁)²

📝 4. Adım: Toplama ve Karekök

• ➕ İki kareyi toplayın
• √ Toplamın karekökünü alın

📊 Örnek Uygulama

Örnek: A(2, 3) ve B(5, 7) noktaları arasındaki uzaklığı bulalım.

Çözüm:

• x₁ = 2, y₁ = 3
• x₂ = 5, y₂ = 7
• x₂ - x₁ = 5 - 2 = 3
• y₂ - y₁ = 7 - 3 = 4
• (3)² + (4)² = 9 + 16 = 25
• √25 = 5

Sonuç: A ve B noktaları arasındaki uzaklık 5 birim'dir.

🌟 Özel Durumlar

📍 Aynı Yatay Çizgideki Noktalar

Eğer iki nokta aynı yatay çizgideyse (y₁ = y₂), formül |x₂ - x₁| şeklinde basitleşir.

📍 Aynı Dikey Çizgideki Noktalar

Eğer iki nokta aynı dikey çizgideyse (x₁ = x₂), formül |y₂ - y₁| şeklinde basitleşir.

💡 Pratik İpuçları

• ✅ Koordinatları doğru yerleştirdiğinizden emin olun
• ✅ Negatif sayıların karelerinin pozitif olduğunu unutmayın
• ✅ Sonucun her zaman pozitif bir sayı olması gerektiğini hatırlayın
• ✅ Ondalıklı sonuçları uygun şekilde yuvarlayın

Bu formül, geometri problemlerinden mühendislik hesaplamalarına kadar birçok alanda kullanılan temel bir matematiksel araçtır. Doğru uygulandığında, koordinat düzlemindeki herhangi iki nokta arasındaki mesafeyi kolayca bulabilirsiniz.