# İki Vektör Arasındaki Açı
📐 Vektörler ve Açı Kavramı
Vektörler, büyüklük (magnitude) ve yön (direction) ile tanımlanan matematiksel nesnelerdir. İki vektör arasındaki açı, bu vektörlerin aynı noktadan çıktığı varsayıldığında oluşturdukları dar açıdır (0° ile 180° arasında). Bu açı, vektörlerin birbirine göre yönelimini belirler ve birçok fiziksel ve geometrik problemde önemli bir rol oynar.
🧮 İki Vektör Arasındaki Açı Nasıl Hesaplanır?
İki vektör arasındaki açıyı hesaplamak için skaler çarpım (nokta çarpım) yöntemini kullanırız. İki vektörün skaler çarpımı, bu vektörlerin büyüklükleri ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımına eşittir.
🔢 Formül:
İki vektör \( \vec{a} \) ve \( \vec{b} \) için:
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\theta \)
Buradan açıyı bulmak için:
\( \cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \)
\( \theta = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\right) \)
📝 Hesaplama Adımları
- 🎯 Adım 1: Vektörlerin skaler çarpımını hesaplayın
- 📏 Adım 2: Her vektörün büyüklüğünü (normunu) hesaplayın
- ➗ Adım 3: Skaler çarpımı, büyüklüklerin çarpımına bölün
- 🔄 Adım 4: Sonucun arkkosinüsünü alarak açıyı bulun
🧩 Örnek Hesaplama
\( \vec{a} = (3, 4) \) ve \( \vec{b} = (1, 2) \) vektörleri arasındaki açıyı bulalım:
- \( \vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(1) + (4)(2) = 3 + 8 = 11 \)
- \( |\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
- \( |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \)
- \( \cos\theta = \frac{11}{5 \cdot \sqrt{5}} \approx \frac{11}{11.18} \approx 0.984 \)
- \( \theta = \arccos(0.984) \approx 10.3^\circ \)
🎯 Özel Durumlar
- ✅ Dik Vektörler: Skaler çarpım sıfır ise vektörler diktir (\( \theta = 90^\circ \))
- ➡️ Aynı Yönlü Vektörler: Skaler çarpım pozitif maksimum ise vektörler aynı yöndedir (\( \theta = 0^\circ \))
- ⬅️ Zıt Yönlü Vektörler: Skaler çarpım negatif minimum ise vektörler zıt yöndedir (\( \theta = 180^\circ \))
💡 Pratik Uygulamalar
- 🏗️ Mühendislikte kuvvet analizleri
- 🚀 Fizikte hareket ve enerji hesaplamaları
- 💻 Bilgisayar grafiklerinde ışık yansımaları
- 🧭 Navigasyon sistemlerinde yön belirleme
İki vektör arasındaki açı kavramı, vektörlerin geometrik özelliklerini anlamak ve birçok uygulama alanında problem çözmek için temel bir araçtır.
