Matematikte, özellikle fonksiyonların sürekliliği ve limitleri konusunda sıkça karşılaştığımız bir terimdir. Bir aralığın "kapalı" olması, o aralığın sınır noktalarını (uç noktalarını) içermesi anlamına gelir.
Tanım
Kapalı aralık, başlangıç ve bitiş noktalarının dahil olduğu bir sayı kümesidir. Gerçek sayılar doğrusu üzerinde, \( a \) ve \( b \) gibi iki sayı verildiğinde, \( a \)'dan \( b \)'ye kadar olan ve bu iki sayıyı da içeren tüm sayıların oluşturduğu kümeye kapalı aralık denir.
Gösterim
Kapalı bir aralık, köşeli parantezler "[ ]" kullanılarak gösterilir.
- \( a \) ve \( b \) noktalarını içeren kapalı aralık: [a, b]
Bu gösterim, \( a \leq x \leq b \) koşulunu sağlayan tüm \( x \) gerçek sayılarını ifade eder.
Örnekler
- [1, 5] aralığı: 1, 5 ve bu iki sayı arasındaki tüm sayıları (örneğin, 2, 3, 4, 3.14) içerir. 1 ve 5 de dahildir.
- [-2, 3] aralığı: -2, 3 ve aralarındaki tüm sayıları içerir.
- [0, 0] aralığı: Sadece 0 sayısından oluşan bir kapalı aralıktır.
Kapalı Aralığın Özellikleri
- Sınır Noktaları Dahildir: En temel özelliğidir. Aralığın uç noktaları, aralığın birer elemanıdır.
- Süreklilik ve Maksimum-Minimum: Sürekli bir fonksiyon, kapalı bir aralık üzerinde daima bir maksimum ve bir minimum değere sahiptir. Bu, matematiğin önemli teoremlerinden "Extreme Value Theorem"in (En Büyük ve En Küçük Değer Teoremi) konusudur.
Diğer Aralık Türleri ile Karşılaştırma
- Açık Aralık (a, b): Uç noktaları dahil etmez. \( a < x < b \) anlamına gelir.
- Yarı Açık Aralık: Bir ucu kapalı, diğer ucu açıktır.
- [a, b): \( a \) dahil, \( b \) dahil değil.
- (a, b]: \( a \) dahil değil, \( b \) dahil.
Özetle, bir kapalı aralık, uç noktaları da içine alan, sınırları kesin olarak belirlenmiş bir sayı kümesidir ve bu özelliği ile matematiksel analizde kritik bir öneme sahiptir.
