Kapalı fonksiyonun türevi

Question

Bu konuyu anlamakta biraz zorlanıyorum. Denklemin her iki tarafının da x'e göre türevini alırken, y'nin bir fonksiyon olduğunu nasıl unutmam gerekiyor? Özellikle zincir kuralını uyguladıktan sonra y'yi yalnız bırakma kısmında takılıyorum.

Answer 1

📘 Kapalı Fonksiyonun Türevi

Kapalı fonksiyonlar, değişkenlerin birbirine eşitlik içinde bağlı olduğu ve genellikle F(x, y) = 0 şeklinde ifade edilen fonksiyonlardır. Bu tür fonksiyonlarda y, x'in açık bir fonksiyonu olarak yazılmamıştır. Örneğin:

\( x^2 + y^2 = 25 \)

Bu denklemde y'yi tek başına bırakıp açık fonksiyon haline getirmek yerine, kapalı fonksiyon türevi yöntemiyle türev alabiliriz.

🎯 Kapalı Fonksiyon Türev Alma Yöntemi

Kapalı fonksiyonun türevini almak için her iki tarafın da x'e göre türevini alırız. Ancak y, x'in bir fonksiyonu olduğu için, y'nin türevinde zincir kuralı uygularız:

• ➡️ y'nin türevi: \( \frac{d}{dx}(y) = \frac{dy}{dx} \)
• ➡️ y²'nin türevi: \( \frac{d}{dx}(y^2) = 2y \cdot \frac{dy}{dx} \)

🧮 Örnek 1: Basit Kapalı Türev

\( x^2 + y^2 = 25 \) denkleminin türevini alalım:

\( \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(25) \)

\( 2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0 \)

\( 2y \cdot \frac{dy}{dx} = -2x \)

\( \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \)

📝 Örnek 2: Karmaşık Bir Kapalı Fonksiyon

\( x^3 + y^3 = 6xy \) denkleminin türevini alalım:

\( \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(y^3) = \frac{d}{dx}(6xy) \)

\( 3x^2 + 3y^2 \cdot \frac{dy}{dx} = 6y + 6x \cdot \frac{dy}{dx} \)

\( 3y^2 \cdot \frac{dy}{dx} - 6x \cdot \frac{dy}{dx} = 6y - 3x^2 \)

\( \frac{dy}{dx}(3y^2 - 6x) = 6y - 3x^2 \)

\( \frac{dy}{dx} = \frac{6y - 3x^2}{3y^2 - 6x} = \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x} \)

💡 Önemli Noktalar

• ✅ y'nin x'in bir fonksiyonu olduğunu unutmayın
• ✅ Zincir kuralını doğru uygulayın
• ✅ Türev alırken çarpım kuralını unutmayın
• ✅ Sonuçta \( \frac{dy}{dx} \) ifadesini yalnız bırakın

🔍 Pratik İpuçları

• 📌 Her terimin türevini ayrı ayrı alın
• 📌 \( \frac{dy}{dx} \) içeren terimleri bir tarafta toplayın
• 📌 Cebirsel işlemlerle \( \frac{dy}{dx} \)'i yalnız bırakın
• 📌 Mümkünse sonucu sadeleştirin

Kapalı fonksiyon türevi, özellikle y'yi açıkça ifade etmenin zor olduğu durumlarda çok kullanışlıdır ve matematiksel modellemede yaygın olarak kullanılır.