Analitik geometride doğruları ifade etmek için çeşitli denklem formları kullanılır. Bunlardan en genel olanı kapalı doğru denklemidir ve ax + by + c = 0 şeklinde ifade edilir.
Kapalı doğru denklemi, bir doğru üzerindeki tüm noktaların (x,y) koordinatlarını sağladığı ve doğru dışındaki noktaların sağlamadığı bir denklemdir. Genel formu:
ax + by + c = 0
Burada a, b ve c gerçel sayılardır ve a ile b aynı anda sıfır olamaz.
ax + by + c = 0 denklemi, b ≠ 0 ise eğim-kesim noktası formuna dönüştürülebilir:
by = -ax - c ⇒ y = -\(\frac{a}{b}\)x - \(\frac{c}{b}\)
Burada eğim m = -\(\frac{a}{b}\) ve y-ekseni kesim noktası (0, -\(\frac{c}{b}\))'dir.
Eğer doğru (x₁,y₁) noktasından geçiyorsa ve eğimi m ise:
y - y₁ = m(x - x₁) ⇒ mx - y + (y₁ - mx₁) = 0
Bu durumda a = m, b = -1, c = y₁ - mx₁ olur.
Eğimi 2 ve y-eksenini (0,3) noktasında kesen doğrunun kapalı denklemini bulalım:
Eğim-kesim formu: y = 2x + 3
Kapalı forma dönüştürürsek: 2x - y + 3 = 0
Burada a = 2, b = -1, c = 3'tür.
A(1,2) ve B(3,6) noktalarından geçen doğrunun kapalı denklemini bulalım:
Eğim: m = \(\frac{6-2}{3-1}\) = \(\frac{4}{2}\) = 2
Doğru denklemi: y - 2 = 2(x - 1)
Kapalı forma dönüştürürsek: 2x - y = 0
Burada a = 2, b = -1, c = 0'dır.
P(x₀,y₀) noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna olan uzaklığı:
d = \(\frac{|ax₀ + by₀ + c|}{\sqrt{a² + b²}}\)
Bu formül, kapalı doğru denkleminin en önemli uygulamalarından biridir.
Kapalı doğru denklemi, analitik geometrinin temel taşlarından biridir ve birçok geometrik problemin çözümünde kullanılır. Bu formun anlaşılması, daha karmaşık geometri konularının öğrenilmesi için sağlam bir temel oluşturur.
