Bir kare, dört kenarı eşit uzunlukta ve açıları 90° olan düzgün bir dörtgendir. Köşegen ise bir çokgende ardışık olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasıdır. Bir karenin iki köşegeni vardır ve bu köşegenler birbirine eşittir.
Karenin köşegen uzunluğunu bulmak için Pisagor Teoremi'ni kullanırız. Bir kareyi köşegeninden ikiye ayırdığımızda, iki eş dik üçgen elde ederiz.
Karenin bir kenar uzunluğu \( a \) olsun. Köşegen, dik üçgenin hipotenüsüdür. Pisagor Teoremi'ne göre:
\[ a^2 + a^2 = d^2 \]
\[ 2a^2 = d^2 \]
\[ d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \]
✅ Formül: \( d = a \times \sqrt{2} \)
Soru: Bir kenarı 5 cm olan karenin köşegen uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
Soru: Köşegen uzunluğu \( 10\sqrt{2} \) cm olan karenin bir kenar uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
| Verilen | İstenen | Formül |
|---|---|---|
| Kenar uzunluğu (a) | Köşegen (d) | \( d = a\sqrt{2} \) |
| Köşegen uzunluğu (d) | Kenar uzunluğu (a) | \( a = \frac{d}{\sqrt{2}} \) |
Evet, karenin köşegenleri aynı zamanda köşelerdeki açıların açıortaylarıdır (45°'ye böler).
Kenar uzunluğu \( \sqrt{2} \) ile çarpıldığı için, kenar \( \sqrt{2} \)'nin rasyonel katı değilse köşegen genellikle irrasyonel sayı olur. Örneğin kenar 5 cm ise köşegen \( 5\sqrt{2} \) cm olur ve ondalık açılımı sonsuzdur.
Pisagor Teoremi'nden (\( a^2 + b^2 = c^2 \)). Karenin kenarları eşit olduğu için \( a^2 + a^2 = d^2 \) olur.
📚 Ödev: Bir kenarı 12 cm olan karenin köşegen uzunluğunu hesaplayınız. Cevabınızı \( a\sqrt{b} \) formunda yazınız.
