Kısmi integrasyon yöntemi nedir

Question

Kısmi integrasyon, çarpım halindeki iki fonksiyonun integralini almak için kullandığımız bir yöntem. Özellikle bir polinom ile trigonometrik/üstel bir fonksiyon çarpımı gibi durumlarda işe yarıyor. Ancak hangi fonksiyonu u, hangisini dv alacağımıza karar vermek bazen kafamı karıştırıyor.

Answer 1

📚 Kısmi İntegrasyon (Integration by Parts) Yöntemi

Kısmi integrasyon, çarpım halindeki iki fonksiyonun integralini almak için kullanılan çok yararlı bir tekniktir. Temel olarak, çarpımın türev alma kuralının integral versiyonudur.

🎯 Temel Formül

İki türevlenebilir \( u(x) \) ve \( v(x) \) fonksiyonu için kısmi integrasyon formülü:

\[ \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \]

Veya daha yaygın kullanılan gösterimle:

\[ \int f(x) \cdot g'(x) dx = f(x) \cdot g(x) - \int g(x) \cdot f'(x) dx \]

🔍 Hangi Durumlarda Kullanılır?

• 📌 Polinom × Üstel fonksiyon (örneğin: \( \int x e^x dx \))
• 📌 Polinom × Trigonometrik fonksiyon (örneğin: \( \int x \sin x dx \))
• 📌 Polinom × Logaritmik fonksiyon
• 📌 Üstel × Trigonometrik fonksiyon
• 📌 Ters trigonometrik fonksiyonlar

💡 Uygulama Adımları

1. ➡️ İntegrali \( \int u dv \) formuna getir
2. ➡️ \( u \) ve \( dv \)'yi akıllıca seç (LIATE kuralı yardımcı olabilir)
3. ➡️ \( du \) ve \( v \)'yi bul
4. ➡️ Formülü uygula: \( \int u dv = uv - \int v du \)
5. ➡️ Sağ taraftaki integrali çöz

🎓 LIATE Kuralı - Hangi Fonksiyon \( u \) Olmalı?

LIATE, \( u \) seçiminde öncelik sırasını gösterir:

• ✅ L - Logaritmik fonksiyonlar (\( \ln x \))
• ✅ I - Ters trigonometrik fonksiyonlar (\( \arcsin x, \arctan x \))
• ✅ A - Cebirsel fonksiyonlar (\( x, x^2, x^3, \ldots \))
• ✅ T - Trigonometrik fonksiyonlar (\( \sin x, \cos x \))
• ✅ E - Üstel fonksiyonlar (\( e^x, a^x \))

📝 Örnek 1: \( \int x e^x dx \)

Çözüm:

• \( u = x \) ve \( dv = e^x dx \) seçelim
• \( du = dx \) ve \( v = e^x \)
• Formülü uygulayalım:

\[ \int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C \]

📝 Örnek 2: \( \int \ln x dx \)

Çözüm:

• \( u = \ln x \) ve \( dv = dx \) seçelim
• \( du = \frac{1}{x} dx \) ve \( v = x \)
• Formülü uygulayalım:

\[ \int \ln x dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x - \int dx = x \ln x - x + C \]

⚠️ Dikkat Edilmesi Gerekenler

• 🔍 İlk seçim işe yaramazsa, \( u \) ve \( dv \)'nin yerlerini değiştirmeyi deneyin
• 🔍 Bazen kısmi integrasyonu birden fazla kez uygulamak gerekebilir
• 🔍 Döngüsel integrallerde denklemi çözme yöntemi kullanılabilir
• 🔍 Her zaman integral sabiti \( +C \) eklemeyi unutmayın

Kısmi integrasyon, integral hesabın en temel ve güçlü araçlarından biridir ve doğru uygulandığında birçok karmaşık integrali çözmemizi sağlar. 🎉