Kök dışına çıkarma nasıl yapılır

Question

Karekök içindeki bir sayıyı kök dışına çıkarmayı anlamakta zorlanıyorum. Hangi sayıların dışarı tam olarak çıkabildiğini ve nasıl böleceğimi tam olarak kavrayamadım. Özellikle tam kare olmayan sayılarda nasıl bir yol izlemem gerektiği kafamı karıştırıyor.

Answer 1

🧮 Kök Dışına Çıkarma Nasıl Yapılır?

Merhaba! Bu ders notumuzda, matematikte sıkça karşılaştığımız karekök ifadelerini sadeleştirme yani "kök dışına çıkarma" işlemini adım adım öğreneceğiz. Bu konu, üslü sayılar ve çarpanlara ayırma bilgisi üzerine kuruludur. Hazırsanız başlayalım!

📚 Temel Prensip: Tam Kare Çarpanlar

Bir sayıyı kök dışına çıkarmak için, kök içindeki sayıyı çarpanlarına ayırırız. Eğer bir çarpan tam kare ise (yani bir sayının karesi ise), o çarpanı karekök dışına çıkarabiliriz.

Matematiksel kuralımız şudur: \( \sqrt{a^2 \times b} = a\sqrt{b} \)

🔢 Adım Adım Kök Dışına Çıkarma

🎯 Adım 1: Kök İçindeki Sayıyı Çarpanlarına Ayır

Kök içindeki sayıyı, mümkün olduğunca tam kare çarpanların çarpımı şeklinde yaz.

Örnek: \( \sqrt{72} \) sayısını ele alalım.
72'yi çarpanlarına ayıralım: \( 72 = 36 \times 2 \). Burada 36 bir tam karedir (\(6^2\)).

🎯 Adım 2: Tam Kare Çarpanı Kök Dışına Çıkar

Tam kare olan çarpanın karekökünü al ve kök dışına katsayı olarak yaz. Kök içinde ise diğer çarpan kalır.

Örnek Devamı: \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \)

🎯 Adım 3: Sadeleştirmeyi Kontrol Et

Kök içinde kalan sayının, başka tam kare çarpanı olup olmadığını kontrol et. Yoksa işlem tamamlanmıştır.

\( \sqrt{2} \) başka sadeleşmez. O halde \( \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \).

📝 Farklı Örneklerle Pratik Yapalım

• ✅ Örnek 1: \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \)
• ✅ Örnek 2: \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \)
• ✅ Örnek 3: \( \sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = 10\sqrt{2} \)
• ✅ Örnek 4: \( \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \)
• ✅ Örnek 5 (Tam Kare Sayı): \( \sqrt{81} = 9 \) (Çünkü \(81 = 9^2\))

⚠️ Dikkat Edilmesi Gerekenler

• 🔸 Kök dışına yalnızca tam kare olan çarpanlar çıkar. \( \sqrt{3} \), \( \sqrt{5} \), \( \sqrt{6} \) gibi ifadeler sadeleşmez.
• 🔸 İşlemi yaparken çarpan ağacı kullanmak işinizi kolaylaştırabilir.
• 🔸 Kök dışına çıkardığınız katsayı ile kök içindeki sayıyı çarpmak, size yeniden orijinal köklü ifadeyi verir. Örn: \( (6\sqrt{2})^2 = 36 \times 2 = 72 \).

💡 İpuçları ve Pratik Stratejiler

Hızlı olmak için ilk 20 tam kare sayıyı (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400) ezbere bilmek çok faydalıdır.

Kök içindeki sayı büyükse, "en büyük tam kare çarpanı" bulmaya çalışın. Örneğin, √72 için 36 yerine 9 ve 8'i de görebilirsiniz (\( \sqrt{9 \times 8} = 3\sqrt{8} \)). Ancak √8 de sadeleşebilir (\(2\sqrt{2}\)). Sonuç yine \(6\sqrt{2}\) olacaktır. Her iki yol da doğrudur, ancak en büyük tam kare çarpanı bulmak işlemi tek adımda bitirir.

✏️ Sonuç

Kök dışına çıkarma, köklü ifadeleri sadeleştirmenin ve işlem kolaylığı sağlamanın temel yoludur. Anahtar, kök içini tam kare çarpanlar ve diğer çarpanların çarpımı şeklinde yazmaktır. Bol bol pratik yaparak bu beceriyi kısa sürede kazanabilirsiniz. Bir sonraki konumuz "Kök İçine Alma" olacak. Çalışmalarınızda başarılar! 🚀