Kökler farkı formülü |x₁ - x₂| = √Δ / |a|

Question

Bu formülü genelde sorularda kökleri tek tek bulmadan kullanıyoruz ama Δ'nın sıfırdan büyük olması gerektiğini bazen unutuyorum. Ayrıca paydadaki "a"nın mutlak değer içinde olduğuna dikkat etmezsem işlem hatası yapıyorum.

Answer 1

📐 Kökler Farkı Formülü: |x₁ - x₂| = √Δ / |a|

İkinci dereceden bir denklemin kökleri arasındaki farkın mutlak değerini bulmak için kullanılan çok pratik bir formüldür. Bu formülü anlamak için önce temel kavramları hatırlayalım.

🔍 Temel Bilgiler

İkinci dereceden bir denklem genel olarak şu şekilde yazılır:

ax² + bx + c = 0

Bu denklemin:

• 🎯 Kökleri: x₁ ve x₂
• 🎯 Diskriminantı (Delta): Δ = b² - 4ac
• 🎯 Kökler toplamı: x₁ + x₂ = -b/a
• 🎯 Kökler çarpımı: x₁ · x₂ = c/a

🧮 Formülün İspatı

Kökler farkı formülünün nereden geldiğini görelim:

İki kökün farkının karesini alarak başlayalım:

(x₁ - x₂)² = x₁² - 2x₁x₂ + x₂²

Bu ifadeyi düzenleyelim:

(x₁ - x₂)² = (x₁² + x₂²) - 2x₁x₂

x₁² + x₂² ifadesini (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ şeklinde yazabiliriz:

(x₁ - x₂)² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ - 2x₁x₂

(x₁ - x₂)² = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂

Şimdi kökler toplamı ve çarpımını yerine koyalım:

(x₁ - x₂)² = (-b/a)² - 4(c/a)

(x₁ - x₂)² = b²/a² - 4c/a

(x₁ - x₂)² = (b² - 4ac)/a²

Burada b² - 4ac = Δ olduğuna göre:

(x₁ - x₂)² = Δ/a²

Her iki tarafın karekökünü alırsak:

|x₁ - x₂| = √Δ / |a|

💡 Formülün Önemi ve Kullanımı

• ✅ Kökler arasındaki mesafeyi bulmada kullanılır
• ✅ İkinci dereceden denklemlerle ilgili geometrik problemlerde işe yarar
• ✅ Kökleri bulmadan kökler arasındaki farkı hesaplamamızı sağlar
• ✅ Mutlak değer kullanıldığı için sonuç her zaman pozitiftir

📝 Örnek Soru Çözümü

Soru: x² - 6x + 5 = 0 denkleminin kökleri arasındaki fark kaçtır?

Çözüm:

• ➡️ a = 1, b = -6, c = 5
• ➡️ Δ = b² - 4ac = (-6)² - 4(1)(5) = 36 - 20 = 16
• ➡️ |x₁ - x₂| = √Δ / |a| = √16 / |1| = 4 / 1 = 4

Kökler farkı 4'tür. (Gerçekten de kökler 1 ve 5'tir, farkları 4'tür)

⚠️ Dikkat Edilmesi Gerekenler

• ❌ Formülde paydada |a| olduğunu unutma!
• ❌ Δ < 0 ise (diskriminant negatifse) gerçek kök yoktur
• ❌ Kökler eşitse (Δ = 0) kökler farkı 0 olur