Köklü sayılarda bölme nasıl yapılır

Question

Köklü sayılarda bölme işlemi yaparken nerede hata yaptığımı tam anlayamıyorum. Pay ve paydayı aynı kök içinde yazıyorum ama sadeleştirme kısmında kafam karışıyor. Özellikle kök dışına çıkarma ve katsayılarla işlem yaparken zorlanıyorum.

Answer 1

Köklü Sayılarda Bölme İşlemi

Köklü sayılarla bölme işlemi yaparken temel kuralımız, kök dereceleri aynı olan ifadeleri bölebilmektir. İşlemi adım adım inceleyelim.

1. Kök Dereceleri Aynı İse

Kök dereceleri aynı olan iki ifadeyi bölerken, katsayılar birbiriyle bölünür, kök içindeki sayılar da birbiriyle bölünür ve sonuç ortak kök içine yazılır.

Matematiksel olarak ifade edersek:

\( a\sqrt[n]{x} \div b\sqrt[n]{y} = \frac{a}{b} \sqrt[n]{\frac{x}{y}} \)

Örnek:

\( 6\sqrt{15} \div 2\sqrt{5} \) işlemini yapalım.

• Katsayıları bölelim: \( 6 \div 2 = 3 \)
• Kök içindeki sayıları bölelim: \( 15 \div 5 = 3 \)
• Sonuç: \( 3\sqrt{3} \)

2. Kök Dereceleri Farklı İse

Eğer kök dereceleri farklı ise, öncelikle kök derecelerini eşitlememiz gerekir. Bunun için kok derecelerinin en küçük ortak katını (EKOK) buluruz.

Örnek:

\( \sqrt[3]{16} \div \sqrt{2} \) işlemini yapalım.

• Kök dereceleri 3 ve 2'dir. EKOK(3,2) = 6
• İlk ifadeyi 6. dereceden kök olarak yazalım: \( \sqrt[3]{16} = \sqrt[6]{16^2} = \sqrt[6]{256} \)
• İkinci ifadeyi 6. dereceden kök olarak yazalım: \( \sqrt{2} = \sqrt[6]{2^3} = \sqrt[6]{8} \)
• Şimdi bölme işlemini yapabiliriz: \( \sqrt[6]{256} \div \sqrt[6]{8} = \sqrt[6]{\frac{256}{8}} = \sqrt[6]{32} \)
• \( 32 = 2^5 \) olduğundan, \( \sqrt[6]{2^5} = 2^{\frac{5}{6}} \) olarak sadeleştirebiliriz.

3. Kök İçindeki İfadeleri Sadeleştirme

Bölme işlemi sonucunda kök içinde kesirli ifadeler kalabilir. Bu durumda paydanın kökten kurtarılması gerekebilir.

Örnek:

\( \sqrt{12} \div \sqrt{3} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2 \)

Kesirli bir sonuç çıkarsa:

\( \sqrt{\frac{3}{5}} \) ifadesini ele alalım. Bu ifadeyi paydayı kökten kurtararak yazmak için pay ve paydayı paydanın eşleniği ile çarparız:

\( \sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5} \)

Önemli Kurallar

• Kök dereceleri aynı değilse önce dereceleri eşitle.
• Bölme işlemi sonucunda kök içindeki ifadeyi mümkün olduğunca sadeleştir.
• Paydada köklü ifade bırakmamaya özen göster.
• Katsayılar ve kök içindeki sayılar ayrı ayrı işleme tabi tutulur.