KPSS Matematik: Köklü Sayılar Formülleri ve Örnek Sorular

Question

KPSS matematikte köklü sayılarla ilgili formülleri karıştırıyorum. Bu formülleri nasıl aklımda tutabilirim ve hangi soruları çözebilirim?

Answer 1

➗ KPSS Matematik: Köklü Sayılar Dünyasına Giriş

Köklü sayılar, matematik sınavlarında sıklıkla karşılaşılan ve temel kavramları iyi anlamayı gerektiren bir konudur. Bu yazıda, köklü sayılarla ilgili temel formülleri ve örnek soruları inceleyeceğiz.

➕ Temel Köklü Sayı Formülleri

• 💡 Tanım: $n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $x^n = a$ denklemini sağlayan $x$ sayısına $a$'nın $n$. dereceden kökü denir ve $\sqrt[n]{a}$ şeklinde gösterilir.
• ➕ Temel Özellikler:
  • 📝 $\sqrt[n]{a^n} = a$ (Eğer $n$ tek ise)
  • 📝 $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ (Eğer $n$ çift ise)
  • 📝 $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$
  • 📝 $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
  • 📝 $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$
  • 📝 $a\sqrt[n]{x} + b\sqrt[n]{x} = (a+b)\sqrt[n]{x}$
• ➕ Eşlenik Kavramı: Paydayı rasyonel yapmak için kullanılır.
  • 📝 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$'nin eşleniği $\sqrt{a} - \sqrt{b}$'dir.
  • 📝 $a + \sqrt{b}$'nin eşleniği $a - \sqrt{b}$'dir.

❓ Örnek Sorular ve Çözümleri

Şimdi de öğrendiğimiz formülleri pekiştirmek için birkaç örnek soru çözelim:

1. Soru 1: $\sqrt{18} + \sqrt{32} - \sqrt{50}$ işleminin sonucu kaçtır?

   Çözüm:

   • 📝 $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$
   • 📝 $\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$
   • 📝 $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$

   Bu durumda, $3\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 5\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ olur.

2. Soru 2: $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ ifadesini rasyonel hale getiriniz.

   Çözüm:

   Paydayı eşleniği olan $\sqrt{2} - 1$ ile çarpalım:

   $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1$

3. Soru 3: $\sqrt[3]{2\sqrt{2}}$ ifadesinin eşiti nedir?

   Çözüm:

   • 📝 Öncelikle içteki köklü ifadeyi üslü ifadeye çevirelim: $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$
   • 📝 Şimdi ifadeyi tekrar yazalım: $\sqrt[3]{2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}}$
   • 📝 Üslü ifadelerde çarpma işlemi yapılırken tabanlar aynı ise üsler toplanır: $2 = 2^1$ olduğundan $2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$
   • 📝 İfadeyi tekrar yazalım: $\sqrt[3]{2^{\frac{3}{2}}}$
   • 📝 Kök içindeki üslü ifadeyi kök dışına çıkarmak için üssü kökün derecesine böleriz: $2^{\frac{3}{2} \div 3} = 2^{\frac{1}{2}}$
   • 📝 Sonuç olarak: $2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$

4. Soru 4: $\sqrt{5 + \sqrt{24}}$ ifadesinin eşiti nedir?

   Çözüm:

   İç içe köklü ifadelerde, eğer mümkünse, ifadeyi tam kare olacak şekilde yazmaya çalışırız. $\sqrt{24}$'ü $2\sqrt{6}$ şeklinde yazabiliriz. Amacımız $5 + 2\sqrt{6}$ ifadesini $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ formatına benzetmektir.

   Bu durumda $a^2 + b^2 = 5$ ve $2ab = 2\sqrt{6}$ olmalıdır. Buradan $ab = \sqrt{6}$ olur. $a = \sqrt{2}$ ve $b = \sqrt{3}$ seçersek, $(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 = 2 + 3 = 5$ ve $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}$ şartları sağlanır.

   Dolayısıyla $\sqrt{5 + \sqrt{24}} = \sqrt{(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2} = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ olur.

📌 İpuçları ve Püf Noktaları

• 🔑 Köklü sayılarda işlem yaparken, kök içindeki sayıları asal çarpanlarına ayırmak işinizi kolaylaştırır.
• 🔑 Paydada köklü ifade gördüğünüzde, eşlenikle çarparak paydayı rasyonel yapmayı unutmayın.
• 🔑 İç içe köklerde, en içteki kökten başlayarak dışa doğru ilerleyin.
• 🔑 Tam kare ifadeleri yakalamaya çalışın, bu tür sorular genellikle daha kolay çözülür.

📚 Ek Kaynaklar

Köklü sayılar konusunu daha iyi anlamak için aşağıdaki kaynaklara göz atabilirsiniz:

• 📒 Ders Kitapları
• 💻 Online Matematik Platformları
• 🎥 Eğitim Videoları

🎯 Sonuç

Köklü sayılar, matematiksel düşünme becerilerinizi geliştiren önemli bir konudur. Bol pratik yaparak ve farklı soru tiplerini çözerek bu konuda ustalaşabilirsiniz. Başarılar!