Logaritma, üstel fonksiyonların tersi olan matematiksel bir işlemdir. Logaritma özellikleri, karmaşık hesaplamaları basitleştirmek ve denklemleri çözmek için kullanılan temel kurallardır. Bu özellikleri anlamak, logaritma ile ilgili problemleri çözmede büyük kolaylık sağlar.
\( a > 0 \), \( a \neq 1 \) ve \( b > 0 \) olmak üzere, \( \log_a b = x \) ifadesi, \( a^x = b \) denklemine eşdeğerdir. Burada:
Aynı tabana sahip iki sayının çarpımının logaritması, bu sayıların logaritmalarının toplamına eşittir.
\( \log_a (b \cdot c) = \log_a b + \log_a c \)
Aynı tabana sahip iki sayının bölümünün logaritması, bu sayıların logaritmalarının farkına eşittir.
\( \log_a \left( \frac{b}{c} \right) = \log_a b - \log_a c \)
Bir sayının kuvvetinin logaritması, kuvvetin logaritma ile çarpımına eşittir.
\( \log_a (b^c) = c \cdot \log_a b \)
Bir logaritmanın tabanını değiştirmek için aşağıdaki formül kullanılır:
\( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)
Bu kural özellikle hesap makinelerinde sadece 10 ve e tabanlı logaritma olduğunda çok kullanışlıdır.
Bir logaritmanın tabanı ile içindeki sayının yer değiştirmesi durumunda:
\( a^{\log_a b} = b \)
Tabanı \( e \) (Euler sayısı, yaklaşık 2.718) olan logaritmadır ve \( \ln \) olarak gösterilir.
\( \ln b = \log_e b \)
Tabanı 10 olan logaritmadır ve genellikle \( \log \) olarak gösterilir (taban yazılmaz).
\( \log b = \log_{10} b \)
Örnek 1: \( \log_2 (8 \cdot 4) \) ifadesini hesaplayalım.
\( \log_2 (8 \cdot 4) = \log_2 8 + \log_2 4 = 3 + 2 = 5 \) ✅
Örnek 2: \( \log_3 81 \) ifadesini hesaplayalım.
\( \log_3 81 = \log_3 (3^4) = 4 \cdot \log_3 3 = 4 \cdot 1 = 4 \) ✅
Örnek 3: \( \log_2 16 \)'yı hesaplamak için taban değiştirme kuralını kullanalım.
\( \log_2 16 = \frac{\log 16}{\log 2} = \frac{\log 2^4}{\log 2} = \frac{4 \cdot \log 2}{\log 2} = 4 \) ✅
