Modüler aritmetik, sayıların belirli bir sayıya göre kalanları ile ilgilenen bir matematik dalıdır. Günlük hayatta saatleri düşünürken aslında modüler aritmetik kullanırız. Örneğin, saat şu an 10:00 ve 5 saat sonra saatin kaç olacağını merak ediyoruz. Normalde 10 + 5 = 15 deriz, ancak saat 12'yi geçtiği için tekrar başa döner ve saat 3 olur. İşte bu, 12 moduna göre bir işlemdir.
Bir sayının bir moda göre denkliği, o sayının o moda bölündüğünde aynı kalanı vermesi anlamına gelir.
Bu tip sorularda, bir tarihten belirli bir gün sonra hangi günün geleceği sorulur. Haftanın günleri 7 moduna göre tekrar eder.
Örnek: Bugün Salı ise 100 gün sonra hangi gün olur?
Çözüm: 100'ü 7'ye bölelim: $100 \div 7 = 14$ (kalan 2). Yani 14 hafta sonra yine Salı olacak. Kalan 2 olduğu için Salı'dan 2 gün sonraki gün, yani Perşembe olur.
Modüler aritmetik, bölünebilme kurallarının temelini oluşturur. Bir sayının belirli bir sayıya bölünüp bölünmediğini anlamak için kalanı bulmak yeterlidir.
Örnek: $3^{2023}$ sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
Gördüğümüz gibi, her 4'te bir döngü tamamlanıyor. O halde 2023'ü 4'e bölelim: $2023 \div 4 = 505$ (kalan 3). Bu durumda $3^{2023} \equiv 3^3 \equiv 2 \pmod{5}$ olur. Yani kalan 2'dir.
Modüler aritmetik, basit şifreleme algoritmalarında da kullanılır. Bir harfi belirli bir sayıda kaydırarak şifrelemek, modüler aritmetiğin bir uygulamasıdır.
Örnek: Alfabemizde A=1, B=2, ..., Z=26 şeklinde numaralandırma yapılıyor. Bir mesajı 3 birim kaydırarak şifrelemek için hangi modüler aritmetik işlemini kullanırız?
Çözüm: Her harfin numarasını 3 ile toplar ve 26 modunu alırız. Örneğin, A (1) harfi 1 + 3 = 4 yani D harfine dönüşür.
Modüler aritmetikte toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri normal aritmetikteki gibi yapılır, ancak sonuç moddan büyükse modül alınır.
Örnek: $(17 + 25) \cdot 12 \pmod{7}$ işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
O halde $(3 + 4) \cdot 5 \pmod{7} = 7 \cdot 5 \pmod{7} = 0 \cdot 5 \pmod{7} = 0 \pmod{7}$ olur. Sonuç 0'dır.
Modüler aritmetik sorularını çözmek için bol bol pratik yapmanız önemlidir. Farklı soru tiplerini görmek ve çözüm yöntemlerini öğrenmek, sınavda karşınıza çıkabilecek soruları daha kolay çözmenizi sağlayacaktır.
