Mutlak değer, bir gerçek sayının işaretinden bağımsız olarak büyüklüğünü ifade eder. Matematiksel olarak, bir \( x \) gerçek sayısının mutlak değeri \( |x| \) şeklinde gösterilir ve aşağıdaki gibi tanımlanır:
\[ |x| = \begin{cases} x, & \text{eğer } x \geq 0 \text{ ise} \\ -x, & \text{eğer } x < 0 \text{ ise} \end{cases} \]
Mutlak değer içeren eşitsizlikler, belirli aralıklara dönüştürülebilir. İşte temel kurallar:
Örnek 1: \( |x - 3| < 5 \) ifadesini aralık olarak yazalım.
Çözüm:
Örnek 2: \( |2x + 1| \geq 7 \) ifadesini çözelim.
Çözüm:
Soru 1: \(|x - 3| \leq 5\) eşitsizliğini sağlayan gerçek sayıların aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
a) \([-8, 2]\) b) \([-2, 8]\) c) \([3, 5]\) d) \([-5, 5]\) e) \([-2, 5]\)
Cevap: b) \([-2, 8]\)
Çözüm: Mutlak değer eşitsizliği \(-5 \leq x - 3 \leq 5\) şeklinde yazılır. Her tarafa 3 eklenirse \(-2 \leq x \leq 8\) elde edilir.
Soru 2: \(|2x + 4| > 6\) eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
a) \(x < -5 \text{ veya } x > 1\) b) \(x < -1 \text{ veya } x > 5\) c) \(-5 < x < 1\) d) \(-1 < x < 5\) e) \(x > 1\)
Cevap: a) \(x < -5 \text{ veya } x > 1\)
Çözüm: Mutlak değer eşitsizliği \(2x + 4 < -6\) veya \(2x + 4 > 6\) şeklinde çözülür. İlk durumda \(x < -5\), ikinci durumda \(x > 1\) bulunur.
Soru 3: \(|x + 1| = 3\) denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
a) \(\{-4, 2\}\) b) \(\{-3, 3\}\) c) \(\{-2, 4\}\) d) \(\{-1, 3\}\) e) \(\{-4, 4\}\)
Cevap: a) \(\{-4, 2\}\)
Çözüm: Mutlak değer denklemi \(x + 1 = 3\) veya \(x + 1 = -3\) şeklinde çözülür. Buradan \(x = 2\) veya \(x = -4\) elde edilir.
Soru 4: \(|5 - 2x| \geq 1\) eşitsizliğini sağlayan en küçük pozitif tam sayı kaçtır?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Cevap: c) 3
Çözüm: Eşitsizlik \(5 - 2x \leq -1\) veya \(5 - 2x \geq 1\) şeklinde çözülür. İlk durumda \(x \geq 3\), ikinci durumda \(x \leq 2\) bulunur. Pozitif tam sayılar arasında en küçük olan 3'tür.
