📐 Mutlak Değer Kavramı
Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder ve her zaman pozitif bir değerdir. Matematiksel olarak şu şekilde tanımlanır:
\( |x| = \begin{cases} x & \text{eğer } x \geq 0 \\ -x & \text{eğer } x < 0 \end{cases} \)
🎯 Mutlak Değerli Denklemler
Mutlak değer içeren denklemleri çözerken, mutlak değerin içindeki ifadenin hem pozitif hem de negatif durumlarını ayrı ayrı ele alırız.
🔍 Çözüm Adımları:
- ➡️ Denklemi mutlak değerin içindeki ifadenin sıfıra eşit olduğu noktalara göre aralıklara ayır
- ➡️ Her aralık için ayrı bir denklem yaz
- ➡️ Bulunan çözümlerin tanım aralığına uyup uymadığını kontrol et
📝 Örnek 1: \( |x - 3| = 5 \)
Bu denklem iki farklı şekilde çözülebilir:
- 💡 Durum 1: \( x - 3 = 5 \) → \( x = 8 \)
- 💡 Durum 2: \( x - 3 = -5 \) → \( x = -2 \)
Çözüm kümesi: \( \{-2, 8\} \)
📝 Örnek 2: \( |2x + 1| = |x - 4| \)
Bu tür denklemlerde dört farklı durum ele alınır:
- ✅ \( 2x + 1 = x - 4 \) → \( x = -5 \)
- ✅ \( 2x + 1 = -(x - 4) \) → \( 2x + 1 = -x + 4 \) → \( 3x = 3 \) → \( x = 1 \)
Çözüm kümesi: \( \{-5, 1\} \)
📊 Mutlak Değerli Eşitsizlikler
Mutlak değerli eşitsizlikler, sayı doğrusunda belirli aralıkları ifade eder.
🔍 Temel Kurallar:
- 📌 \( |x| < a \) ise \( -a < x < a \) (aralık)
- 📌 \( |x| > a \) ise \( x < -a \) veya \( x > a \) (birleşim)
📝 Örnek 3: \( |x - 2| < 3 \)
Bu eşitsizlik şu şekilde çözülür:
\( -3 < x - 2 < 3 \)
\( -1 < x < 5 \)
Çözüm kümesi: \( (-1, 5) \)
📝 Örnek 4: \( |2x + 1| \geq 5 \)
Bu eşitsizlik iki ayrı duruma ayrılır:
- ✅ \( 2x + 1 \geq 5 \) → \( 2x \geq 4 \) → \( x \geq 2 \)
- ✅ \( 2x + 1 \leq -5 \) → \( 2x \leq -6 \) → \( x \leq -3 \)
Çözüm kümesi: \( (-\infty, -3] \cup [2, \infty) \)
💡 Önemli İpuçları
- 🎯 Mutlak değer her zaman pozitiftir: \( |x| \geq 0 \)
- 🎯 \( |a \cdot b| = |a| \cdot |b| \)
- 🎯 \( \left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|} \) (b ≠ 0)
- 🎯 \( |a + b| \leq |a| + |b| \) (Üçgen eşitsizliği)
🚀 Pratik Uygulama
Aşağıdaki denklem ve eşitsizlikleri çözmeyi deneyin:
- \( |3x - 2| = 7 \)
- \( |x + 4| > 2 \)
- \( |2x - 1| \leq 5 \)
- \( |x - 3| = |2x + 1| \)
