Negatif üs nedir

Question

Negatif üs konusunu anlamakta zorlanıyorum. Mesela, 2 üzeri -3'ün neden 1/8'e eşit olduğunu tam olarak kavrayamadım. Bu kuralın mantığını basitçe açıklayabilecek var mı?

Answer 1

📚 Negatif Üs Nedir?

Bir sayının negatif üssü, o sayının çarpma işlemine göre tersini almak anlamına gelir. Bu kavramı anlamak için önce pozitif üsleri hatırlayalım.

💡 Pozitif Üslerin Hatırlatılması

Pozitif bir üs, tabanın kendisiyle kaç kez çarpılacağını gösterir.

Örneğin: \( 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \)

🔄 Negatif Üs Kuralı

Bir sayının negatif üssü, o sayının pozitif üssünün çarpma işlemine göre tersine eşittir. Matematiksel olarak şu kuralı kullanırız:

\( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)

Burada a ≠ 0 olmalıdır, çünkü sıfırın negatif üssü tanımsızdır.

🧮 Örneklerle Açıklama

• ✅ \( 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \)
• ✅ \( 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} \)
• ✅ \( 10^{-1} = \frac{1}{10^1} = \frac{1}{10} = 0.1 \)
• ✅ \( \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4} \)

🎯 Neden Bu Kural Geçerlidir?

Üslerle ilgili temel kurallardan biri, aynı tabanlı üsler bölündüğünde üslerin çıkarılmasıdır:

\( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

Eğer m < n ise, sonuç negatif üs olur. Örneğin:

\( \frac{2^2}{2^5} = 2^{2-5} = 2^{-3} \)

Aynı işlemi farklı şekilde yaparsak:

\( \frac{2^2}{2^5} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8} \)

Bu durumda \( 2^{-3} = \frac{1}{8} \) olduğunu görürüz.

📌 Önemli Kurallar

• ➡️ \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)
• ➡️ \( \frac{1}{a^{-n}} = a^n \)
• ➡️ \( \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n} \)
• ➡️ \( a^0 = 1 \) (a ≠ 0)

🔢 Ondalık Sayılarla Negatif Üsler

Ondalık sayıların negatif üslerini hesaplarken, sayıyı kesirli ifadeye çevirmek işimizi kolaylaştırır:

\( 0.01 = 10^{-2} \) çünkü \( 0.01 = \frac{1}{100} = \frac{1}{10^2} = 10^{-2} \)

✨ Pratik Uygulama

Negatif üsler, bilimsel gösterimde çok küçük sayıları ifade etmek için yaygın olarak kullanılır:

• 📏 Bir atomun çapı: \( 1 \times 10^{-10} \) metre
• ⚖️ Bir elektronun kütlesi: \( 9.1 \times 10^{-31} \) kilogram