🧮 Olasılıkta Tümleyen Yöntemi Nedir?
Olasılık problemlerini çözerken bazen doğrudan istenilen durumu hesaplamak yerine, istenmeyen durumları hesaplamak ve tüm durumdan çıkarmak daha kolay olabilir. İşte bu yönteme
tümleyen olasılık yöntemi denir. Bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığının toplamı her zaman 1'e eşittir. Matematiksel olarak ifade edersek:
$P(A) + P(A') = 1$
Burada:
* $P(A)$: A olayının olma olasılığı
* $P(A')$: A olayının olmama olasılığı (A'nın tümleyeni)
💡 Tümleyen Yöntemini Ne Zaman Kullanmalıyız?
Tümleyen yöntemini aşağıdaki durumlarda kullanmak genellikle daha avantajlıdır:
* İstenilen durumun olasılığını doğrudan hesaplamak zorsa.
* İstenmeyen durumların sayısı, istenilen durumların sayısından azsa.
* "En az", "en çok", "değildir" gibi ifadeler içeren sorularda.
✍️ Tümleyen Yöntemiyle Soru Çözme Adımları
Tümleyen yöntemini kullanarak olasılık sorularını çözerken aşağıdaki adımları takip edebiliriz:
- 🎯 Adım 1: İstenen olayı belirle.
- 🔍 Adım 2: İstenmeyen olayı (tümleyeni) belirle.
- 💯 Adım 3: İstenmeyen olayın olasılığını hesapla.
- ➖ Adım 4: İstenen olayın olasılığını bulmak için 1'den istenmeyen olayın olasılığını çıkar.
📌 Örnek Soru ve Çözümü
Soru: Bir torbada 3 kırmızı ve 4 beyaz bilye vardır. Torbadan rastgele çekilen 3 bilyeden en az birinin kırmızı olma olasılığı nedir?
Çözüm:
Bu soruyu doğrudan çözmek yerine, tümleyenini yani hiçbirinin kırmızı olmama olasılığını bulmak daha kolaydır.
*
İstenen olay: En az bir bilyenin kırmızı olması
*
İstenmeyen olay (tümleyen): Hiçbir bilyenin kırmızı olmaması (yani 3 bilyenin de beyaz olması)
1.
Tüm durumların sayısı: Torbadan 3 bilye çekme sayısı: ${7 \choose 3} = \frac{7!}{3!4!} = 35$
2.
İstenmeyen durumların sayısı: 3 bilyenin de beyaz olma sayısı: ${4 \choose 3} = \frac{4!}{3!1!} = 4$
3.
İstenmeyen olayın olasılığı: $P(\text{hepsi beyaz}) = \frac{4}{35}$
4.
İstenen olayın olasılığı: $P(\text{en az bir kırmızı}) = 1 - P(\text{hepsi beyaz}) = 1 - \frac{4}{35} = \frac{31}{35}$
Bu nedenle, torbadan çekilen 3 bilyeden en az birinin kırmızı olma olasılığı $\frac{31}{35}$'tir.
📝 Ek Örnekler
* Bir zarın 4 kez atılması durumunda en az bir kez 6 gelme olasılığı.
* İki madeni paranın atılması durumunda en az birinin tura gelme olasılığı.
* Bir sınıfta bulunan öğrencilerden rastgele seçilen 5 kişiden en az ikisinin aynı ayda doğmuş olma olasılığı.
Bu tür soruları çözerken de tümleyen yöntemini kullanarak daha hızlı ve kolay bir şekilde sonuca ulaşabilirsiniz. Unutmayın, pratik yaptıkça bu yöntemde ustalaşacaksınız!
