📊 Parabolün Delta (Diskriminant) ile İlişkisi
İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği olan parabol ile denklemin diskriminantı (delta) arasında çok önemli bir ilişki vardır. Bu ilişki, parabolün x-eksenini kesip kesmediğini, teğet olup olmadığını veya hiç kesişmediğini bize söyler.
🔍 Diskriminant (Delta) Nedir?
İkinci dereceden bir denklem \( ax^2 + bx + c = 0 \) şeklinde verilir. Bu denklemin diskriminantı, aşağıdaki formülle hesaplanır:
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
📈 Delta'nın Parabol Üzerindeki Etkileri
Delta'nın değeri, parabolün x-eksenini nasıl kestiğini doğrudan belirler. Üç temel durum vardır:
- ✅ Durum 1: Δ > 0 (Pozitif Diskriminant)
- Parabol x-eksenini iki farklı noktada keser.
- Denklemin iki farklı reel kökü vardır.
- Grafik, x-eksenini iki noktada kesen bir "U" veya ters "U" şeklindedir.
- ⚠️ Durum 2: Δ = 0 (Sıfır Diskriminant)
- Parabol x-eksenine teğettir (sadece bir noktada değer).
- Denklemin çakışık iki reel kökü vardır (çift katlı kök).
- Grafik, x-eksenine tam tepe noktasında değen bir eğridir.
- ❌ Durum 3: Δ < 0 (Negatif Diskriminant)
- Parabol x-eksenini hiç kesmez.
- Denklemin reel kökü yoktur (kökler karmaşıktır).
- Grafik, x-ekseninin ya tamamen üstünde ya da tamamen altındadır.
🎯 Örneklerle İnceleyelim
Örnek 1: \( y = x^2 - 5x + 6 \) parabolünü inceleyelim.
- a = 1, b = -5, c = 6
- \( \Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 \)
- Δ > 0 olduğundan, parabol x-eksenini iki farklı noktada keser. ➡️ Kökler: x=2 ve x=3
Örnek 2: \( y = x^2 - 4x + 4 \) parabolünü inceleyelim.
- a = 1, b = -4, c = 4
- \( \Delta = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0 \)
- Δ = 0 olduğundan, parabol x-eksenine teğettir. ➡️ Kök: x=2 (çift katlı)
Örnek 3: \( y = x^2 + 2x + 5 \) parabolünü inceleyelim.
- a = 1, b = 2, c = 5
- \( \Delta = (2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 \)
- Δ < 0 olduğundan, parabol x-eksenini kesmez. ➡️ Reel kök yok.
💡 Özet
- Δ > 0 ➡️ İki farklı kesişim noktası ✌️
- Δ = 0 ➡️ Bir teğet noktası 👆
- Δ < 0 ➡️ Kesişim noktası yok 🙅♂️
Diskriminant, bir parabolün x-ekseni ile olan ilişkisini anlamak için güçlü ve hızlı bir araçtır. Denklemi çözmeden önce delta'ya bakarak grafiğin genel şekli hakkında fikir sahibi olabilirsiniz.
