Kosinüs teoremi, geometride üçgenlerin kenar uzunlukları ve açıları arasındaki ilişkiyi tanımlayan temel bir teoremdir. Vektörler bağlamında ise, bu teorem iki vektör arasındaki açı ile bu vektörlerin büyüklükleri arasındaki ilişkiyi ifade etmemizi sağlar.
İki vektör \( \vec{a} \) ve \( \vec{b} \) arasındaki açı \( \theta \) olmak üzere, bu iki vektörün farkının büyüklüğünün karesi:
\[ |\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \]
şeklinde ifade edilir. Bu, vektörlerde kosinüs teoreminin temel formülüdür.
Vektörlerde kosinüs teoremi, skaler çarpım özellikleri kullanılarak kolayca ispatlanabilir:
\[ |\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) \]
\[ = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} \]
\[ = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 \]
\[ = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \]
Büyüklükleri sırasıyla 3 ve 4 birim olan iki vektör arasındaki açı 60° ise, bu vektörlerin farkının büyüklüğü nedir?
Çözüm:
\[ |\vec{a} - \vec{b}|^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ \]
\[ = 9 + 16 - 24 \cdot 0.5 \]
\[ = 25 - 12 = 13 \]
\[ |\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{13} \]
Vektörlerde kosinüs teoremi, hem teorik fizik hem de uygulamalı matematikte vektör işlemlerini anlamak ve problem çözmek için temel bir araçtır.
