Parabolün kolları yukarı veya aşağı olması (a > 0, a < 0)

Question

Parabolün kollarının yönünü belirlerken a katsayısına bakıyorum ama bazen hangi durumda yukarı, hangisinde aşağı bakacağımı karıştırıyorum. Özellikle a negatif olduğunda neden aşağı doğru açıldığını mantığımda tam oturtamadım.

Answer 1

📚 İkinci Dereceden Denklemler

İkinci dereceden denklemler, matematikte en sık karşılaşılan denklem türlerinden biridir. Genel formu şu şekildedir:

\( ax^2 + bx + c = 0 \)

Burada:

• 🎯 a, b, c gerçel sayılardır ve a ≠ 0 olmalıdır.
• 🎯 x değişkeni (bilinmeyen) denklemin köküdür.

🔍 Diskriminant (Δ) Nedir?

İkinci dereceden bir denklemin köklerinin doğasını belirlemek için diskriminant kullanılır. Diskriminant, aşağıdaki formülle hesaplanır:

\( \Delta = b^2 - 4ac \)

Diskriminantın değeri bize kökler hakkında şu bilgileri verir:

• ✅ Δ > 0 ise: Denklemin birbirinden farklı iki gerçel kökü vardır.
• 🔄 Δ = 0 ise: Denklemin birbirine eşit iki gerçel kökü vardır (çakışık kök).
• ❌ Δ < 0 ise: Denklemin gerçel kökü yoktur, karmaşık (kompleks) iki kökü vardır.

🧮 Kök Bulma Formülü

İkinci dereceden bir denklemin kökleri, meşhur "Kök Formülü" ile bulunur:

\( x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)

Bu formülü kullanırken şu adımları takip edebilirsiniz:

1. 📌 Denklemdeki a, b, c katsayılarını belirle.
2. 📌 Diskriminantı hesapla: \( \Delta = b^2 - 4ac \)
3. 📌 Diskriminantın karekökünü al.
4. 📌 Kök formülünde yerine koy ve iki kökü de bul:
   • \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \)
   • \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \)

💡 Örnek Çözüm

Örnek: \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) denklemini çözelim.

1️⃣ Katsayılar: a = 1, b = -5, c = 6

2️⃣ Diskriminant: \( \Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 \)

3️⃣ Kökler:

\( x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)

\( x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

4️⃣ Çözüm Kümesi: {2, 3}

🌟 Kökler ve Katsayılar Arasındaki İlişkiler

Kökler toplamı ve kökler çarpımı formülleri, denklemi çözmeden kökler hakkında bilgi edinmemizi sağlar:

• ➡️ Kökler Toplamı: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \)
• ➡️ Kökler Çarpımı: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \)

Bu ilişkiler, köklerle ilgili problemleri çözerken bize büyük kolaylık sağlar! 🎉