Polinom olma şartı konu anlatımı

Question

Polinom olma şartlarını tam olarak anlayamadım. Özellikle bir ifadenin polinom sayılabilmesi için üslerin doğal sayı olması gerektiği kuralı kafamı karıştırıyor. Ayrıca değişkenin paydada veya kök içinde olmamasının neden gerekli olduğunu tam kavrayamadım.

Answer 1

Polinom Nedir?

Bir ifadenin polinom olabilmesi için aşağıdaki şartları sağlaması gerekir:

1. Değişkenlerin Üsleri Doğal Sayı Olmalıdır

Polinomlarda değişkenlerin üsleri (kuvvetleri) 0 veya pozitif tam sayı olmalıdır.

• \( P(x) = 3x^2 + 2x - 5 \) → Polinomdur (üsler: 2, 1, 0)
• \( Q(x) = x^{1/2} + 4 \) → Polinom değildir (üs \( \frac{1}{2} \), doğal sayı değil)
• \( R(x) = \frac{1}{x} + 3 = x^{-1} + 3 \) → Polinom değildir (üs -1, negatif sayı)

2. Değişkenler Bölümde (Paydada) Bulunmamalıdır

Polinomlarda değişken paydada yer alamaz.

• \( P(x) = \frac{x^2 + 1}{3} \) → Polinomdur (payda sabit sayı)
• \( Q(x) = \frac{2}{x+1} \) → Polinom değildir (değişken paydada)

3. Değişkenler Kök İçinde Bulunmamalıdır

Polinomlarda değişkenler kök içinde yer alamaz.

• \( P(x) = \sqrt{5}x^3 \) → Polinomdur (kök içinde sabit sayı var)
• \( Q(x) = \sqrt{x} + 1 \) → Polinom değildir (değişken kök içinde, \( x^{1/2} \))

Önemli Uyarılar

• Polinomlarda katsayılar reel sayı olabilir (rasyonel, irrasyonel, tam sayı, vs.).
• Sabit terimler polinom olabilir (örneğin \( P(x) = 7 \)).
• Bir polinomun derecesi, değişkenin en büyük üssüdür.

Örneklerle Kontrol Edelim

• \( P(x) = 4x^3 - 2x^2 + x - 8 \) → Polinom (tüm şartlar sağlanıyor)
• \( Q(x) = 5x^4 + x^{-2} \) → Polinom değil (negatif üs var)
• \( R(x) = \sqrt[3]{x^2} = x^{2/3} \) → Polinom değil (üs rasyonel sayı)
• \( S(x) = \frac{x^2 + 2x}{5} \) → Polinom (payda sabit)

Answer 2

Polinom Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir polinom belirtir?
a) \( 3x^2 - \frac{1}{x} + 5 \)
b) \( \sqrt{x} + 2x - 1 \)
c) \( 4x^3 - 2x^2 + x - 7 \)
d) \( x^2 - 3x^{1/2} + 4 \)
e) \( \frac{2x^2 - 1}{x+3} \)
Cevap: c)
Çözüm: Bir ifadenin polinom olabilmesi için değişkenin üslerinin doğal sayı (0, 1, 2, 3, ...) ve katsayıların reel sayı olması gerekir. c seçeneğindeki \( 4x^3 - 2x^2 + x - 7 \) ifadesi bu şartı sağlar.

Soru 2: \( P(x) = (a-2)x^4 + 3x^{b-1} - 5x + c + 1 \) ifadesi bir polinom olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
a) a ≠ 2 olmalıdır
b) b bir doğal sayı olmalıdır
c) c herhangi bir reel sayı olabilir
d) b > 1 olmalıdır
e) a = 2 olursa ifade üçüncü dereceden polinom olur
Cevap: a)
Çözüm: a = 2 olursa ifade \( 3x^{b-1} - 5x + c + 1 \) şeklinde olur ve bu da bir polinom olabilir. Diğer şıklardaki ifadeler doğrudur: b-1 ≥ 0 olmalı (b doğal sayı), c herhangi bir reel sayı olabilir, b > 1 olmalı (b-1 ≥ 0 ve b ≠ 1).

Soru 3: \( Q(x) = 5x^{m-3} + 2x^{n+1} - x^2 + 4 \) ifadesi bir polinom olduğuna göre, m ve n için aşağıdakilerden hangisi doğru olamaz?
a) m = 3, n = 0
b) m = 5, n = 2
c) m = 4, n = -1
d) m = 6, n = 1
e) m = 3, n = 2
Cevap: c)
Çözüm: Bir ifadenin polinom olabilmesi için tüm üslerin doğal sayı olması gerekir. c seçeneğinde m = 4, n = -1 için üsler: m-3 = 1 (doğal sayı), n+1 = 0 (doğal sayı) - bu geçerli bir polinomdur. Soruda "doğru olamaz" ifadesi geçtiği için diğer seçenekler kontrol edildiğinde tümü polinom belirtir.