Polinom Nedir?
Polinom, belirli kurallara uyan cebirsel bir ifadedir. Gerçek sayılar ve bir değişkenin (genellikle x) doğal sayı kuvvetlerinin çarpımlarının toplamı şeklinde yazılabilen ifadelere polinom denir.
Bir İfadenin Polinom Olma Şartları
Bir ifadenin polinom sayılabilmesi için aşağıdaki şartların tamamını sağlaması gerekir:
- Değişkenin Kuvvetleri Doğal Sayı Olmalıdır: Polinomdaki değişkenin (x) üsleri 0, 1, 2, 3, ... gibi doğal sayılar olmalıdır. Kesirli, negatif veya değişkenli ifadeler içermemelidir.
- Değişkenler Kök İçinde Bulunmamalıdır: İfadede değişken, herhangi bir kök işaretinin (√) içinde yer almamalıdır.
- Değişkenler Paydada Bulunmamalıdır: İfadenin paydasında değişken olmamalıdır.
- Değişkenler Mutlak Değer, Trigonometrik, Logaritmik vb. İfadeler İçinde Olmamalıdır: Değişken, |x|, sin(x), log(x) gibi özel fonksiyonların içinde bulunmamalıdır.
Polinom Örnekleri
Aşağıdaki ifadeler birer polinomdur:
- \( P(x) = 5 \) (Sabit polinom)
- \( P(x) = 3x + 2 \)
- \( P(x) = x^2 - 4x + 1 \)
- \( P(x) = 7x^{100} - \sqrt{5}x^3 + \frac{1}{2} \)
Bu örneklerdeki tüm üsler doğal sayıdır ve değişken paydada veya kök içinde değildir. Katsayıların rasyonel veya irrasyonel sayı olması polinom olma şartını bozmaz.
Polinom OLMAYAN İfade Örnekleri
Aşağıdaki ifadeler polinom değildir:
- \( P(x) = x^{-2} + 3x \) → Üs negatif sayı olamaz.
- \( P(x) = \sqrt{x} + 5 \) → Değişken kök içindedir. (\(\sqrt{x} = x^{1/2}\))
- \( P(x) = \frac{1}{x} + 2x^2 \) → Değişken paydadadır. (\(\frac{1}{x} = x^{-1}\))
- \( P(x) = 2^x \) → Üs değişkendir.
- \( P(x) = \frac{3x^2 + 1}{x - 1} \) → Paydada değişken vardır.
- \( P(x) = |x| \) → Değişken mutlak değer içindedir.
Özet
Bir ifadenin polinom olabilmesi için, değişkenin üslerinin doğal sayı olması ve değişkenin paydada, kök içinde veya özel bir fonksiyonun (üs, logaritma, trigonometri vb.) içinde bulunmaması temel şarttır.
