R hangi sayı kümesidir?

Question

R'nin hangi sayıları kapsadığını tam olarak anlayamadım. Özellikle irrasyonel sayıların bu küme içindeki yerini karıştırıyorum. Reel sayıların içinde hem rasyonel hem de irrasyonel sayıların bulunduğunu biliyorum ama tam olarak nasıl bir küme oluşturduklarını kavramakta zorlanıyorum.

Answer 1

Matematikte R sembolü, Reel Sayılar Kümesi'ni ifade eder. Bu küme, günlük hayatta kullandığımız ve sayı doğrusu üzerinde bir noktaya karşılık gelen tüm sayıları içerir.

Reel Sayıların İçerdiği Sayı Türleri

Reel sayılar kümesi (R), aşağıdaki sayı kümelerinin tamamını kapsar:

• Rasyonel Sayılar (Q): İki tam sayının birbirine bölümü şeklinde (a/b, b≠0) yazılabilen sayılardır. Örneğin: \( \frac{1}{2} \), \( 4 \), \( -3 \), \( 0.75 \), \( 0.\overline{3} \).
• İrrasyonel Sayılar (I): İki tam sayının birbirine bölümü şeklinde YAZILAMAYAN sayılardır. Ondalık kısımları sonsuza kadar gider ve tekrar etmez. Örneğin: \( \pi \) (pi sayısı), \( e \) (euler sayısı), \( \sqrt{2} \), \( \sqrt{5} \).

Sayı Doğrusu ile İlişkisi

Reel sayılar kümesinin en önemli özelliği, sayı doğrusunu tamamen ve sürekli olarak doldurmasıdır. Sayı doğrusu üzerinde işaretleyebileceğiniz her nokta bir reel sayıya, her reel sayı da sayı doğrusu üzerinde bir noktaya karşılık gelir.

Diğer Sayı Kümeleri ile İlişkisi

Sayı kümeleri genişleyen bir hiyerarşiye sahiptir. Reel sayılar, bu hiyerarşinin en temel kümelerinden biridir:

• Doğal Sayılar (N) ⊂ Tam Sayılar (Z) ⊂ Rasyonel Sayılar (Q) ⊂ Reel Sayılar (R)

Örneğin, 5 sayısı aynı zamanda bir doğal, tam, rasyonel ve reel sayıdır. \( \sqrt{2} \) ise bir irrasyonel sayı olduğu için reel sayılar kümesinin içindedir, ancak rasyonel sayılar kümesinin dışındadır.

Sonuç olarak, R sembolü, rasyonel ve irrasyonel tüm sayıları kapsayan Reel Sayılar Kümesi'ni temsil eder ve matematikte en sık kullanılan sayı sistemidir.