📐 Radyan Cinsinden Esas Ölçü Nedir?
Bir açının esas ölçüsü, o açıya denk olan ve [0, 2π) aralığında bulunan açıdır. Yani, bir açıya sürekli 2π ekleyip çıkardığımızda (bir tam tur), açının trigonometrik değeri değişmez. Biz de bu sonsuz sayıdaki eş açıdan, en sade ve standart olanını (0 radyan dahil, 2π radyandan küçük) bulmaya çalışırız. Buna esas ölçü denir.
🎯 Esas Ölçü Nasıl Bulunur?
Verdiğimiz açı θ olsun. Esas ölçüyü bulmak için aşağıdaki adımları izleriz:
- ➗ Adım 1: Açıyı 2π'ye böleriz ve kalanı buluruz. Yani, θ = 2πk + α denklemini kurarız. Burada k bir tam sayı, α ise esas ölçüdür ve 0 ≤ α < 2π olmalıdır.
- 💡 Adım 2: Eğer açı negatifse, esas ölçüyü bulmak için açıya 2π'nin katlarını ekleyerek onu [0, 2π) aralığına getiririz.
🧮 Örneklerle Açıklayalım
✅ Örnek 1: Pozitif Açı
Açı: \( \frac{17\pi}{4} \) radyan
- Bu açıyı 2π'ye bölelim: \( \frac{17\pi/4}{2\pi} = \frac{17\pi}{4} \div \frac{8\pi}{4} = \frac{17}{8} = 2 + \frac{1}{8} \)
- Gördüğünüz gibi, 2 tam tur var ve kalan \( \frac{1}{8} \) tur.
- Kalan açıyı bulmak için: \( \frac{17\pi}{4} - (2 \times 2\pi) = \frac{17\pi}{4} - 4\pi = \frac{17\pi}{4} - \frac{16\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \)
Sonuç olarak, \( \frac{17\pi}{4} \) açısının esas ölçüsü \( \frac{\pi}{4} \) radyandır.
✅ Örnek 2: Negatif Açı
Açı: \( -\frac{5\pi}{3} \) radyan
- Açı negatif olduğu için, onu pozitif yapmak için 2π ekleriz: \( -\frac{5\pi}{3} + 2\pi = -\frac{5\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{\pi}{3} \)
Sonuç olarak, \( -\frac{5\pi}{3} \) açısının esas ölçüsü \( \frac{\pi}{3} \) radyandır.
✅ Örnek 3: 2π'den Büyük Pozitif Açı
Açı: \( \frac{25\pi}{6} \) radyan
- Açıyı 2π'ye bölelim: \( \frac{25\pi/6}{2\pi} = \frac{25}{12} = 2 + \frac{1}{12} \)
- 2 tam tur atılmış, kalan \( \frac{1}{12} \) tur.
- Kalan açı: \( \frac{25\pi}{6} - (2 \times 2\pi) = \frac{25\pi}{6} - \frac{24\pi}{6} = \frac{\pi}{6} \)
Sonuç olarak, \( \frac{25\pi}{6} \) açısının esas ölçüsü \( \frac{\pi}{6} \) radyandır.
📌 Özet ve Püf Noktalar
- 🔁 Esas ölçü daima 0 radyan dahil, 2π radyandan küçük bir açıdır.
- ➖ Açı negatifse, 2π ekleyerek pozitif yap.
- ➕ Açı 2π'den büyükse, 2π'ye bölüp kalanı al.
- 🎭 Esas ölçü, birim çember üzerinde aynı noktayı gösteren en küçük pozitif açıdır.
