Reel sayı aralıkları ile ilgili sorular ve çözümleri

Question

Bu konuyu anlamakta biraz zorlanıyorum. Özellikle aralıkların kesişim ve birleşim işlemlerinde hangi durumda parantez kullanacağımı karıştırıyorum. Soru çözerken sonucun açık ya da kapalı aralık olup olmadığı konusunda tereddüt yaşıyorum.

Answer 1

Reel Sayı Aralıklarına Giriş

Reel sayı aralıkları, matematikte bir sayı doğrusu üzerinde belirli bir küme sayıyı ifade etmek için kullanılır. Bu aralıklar, sayıların hangi koşulları sağladığını göstermemize yardımcı olur.

Aralık Türleri

• Kapalı Aralık [a, b]: a ve b dahil. \( a \leq x \leq b \)
• Açık Aralık (a, b): a ve b dahil değil. \( a < x < b \)
• Yarı Açık Aralık: [a, b) veya (a, b]. Köşeli parantez olan taraf dahil, normal parantez olan taraf dahil değil.

Örnek Sorular ve Çözümleri

Soru 1:

A = [2, 7] ve B = (5, 10) kümeleri veriliyor. A ∩ B (A kesişim B) kümesini bulunuz.

Çözüm 1:

Kesişim kümesi, her iki kümede de bulunan ortak elemanlardan oluşur.

• A kümesi: 2'den 7'ye kadar tüm sayıları içerir (2 ve 7 dahil).
• B kümesi: 5'ten 10'a kadar tüm sayıları içerir, ancak 5 ve 10 dahil değildir.
• Ortak sayılar, 5'ten büyük ve 7'den küçük veya eşit olan sayılardır. 5 açık aralıkta olduğu için dahil değildir, ancak 7 kapalı aralıkta olduğu için dahildir.

Sonuç: A ∩ B = (5, 7]

Soru 2:

\( -3 \leq x < 4 \) eşitsizliğinin gösterdiği aralığı aralık notation (gösterim) ile yazınız.

Çözüm 2:

Eşitsizlik bize x'in -3'ten büyük veya eşit ve 4'ten küçük olduğunu söylüyor.

• Alt sınır: -3 → Dahil olduğu için köşeli parantez [ kullanırız.
• Üst sınır: 4 → Dahil olmadığı için normal parantez ) kullanırız.

Sonuç: [-3, 4)

Soru 3:

A = (-∞, 3] ve B = [1, 5) kümeleri veriliyor. A ∪ B (A birleşim B) kümesini bulunuz.

Çözüm 3:

Birleşim kümesi, en geniş aralığı temsil eder.

• A kümesi: 3 ve 3'ten küçük tüm sayıları içerir.
• B kümesi: 1 ve 1'den büyük, 5'ten küçük tüm sayıları içerir (1 dahil, 5 dahil değil).
• Bu iki kümenin birleşimi, 5'e kadar (5 dahil olmadan) olan tüm sayıları ve ayrıca 1'den küçük tüm sayıları da kapsar. En geniş aralık, negatif sonsuzdan başlayıp 5'te (açık) biter.

Sonuç: A ∪ B = (-∞, 5)

Soru 4:

\( |x - 2| < 5 \) eşitsizliğini sağlayan x değerlerinin aralığını bulunuz.

Çözüm 4:

Mutlak değer eşitsizliğini çözmek için kuralları uygulayalım. \( |u| < c \) ise \( -c < u < c \) şeklinde yazılabilir.

• Bu durumda u = \( x - 2 \) ve c = 5'tir.
• Eşitsizlik şu hale gelir: \( -5 < x - 2 < 5 \)
• Her tarafa 2 ekleyelim: \( -5 + 2 < x - 2 + 2 < 5 + 2 \)
• Bu bize verir: \( -3 < x < 7 \)

Sonuç: x değerleri (-3, 7) açık aralığındadır.

Answer 2

Reel Sayı Aralıkları Çözümlü Test Soruları

Soru 1: A = {x | -2 ≤ x < 3, x ∈ R} ve B = {x | 1 < x ≤ 5, x ∈ R} kümeleri veriliyor. A ∩ B kümesinin gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
a) (1, 3)
b) (1, 3]
c) [1, 3)
d) [1, 3]
e) (-2, 5]
Cevap: b) (1, 3]
Çözüm: A ∩ B, her iki kümede de bulunan elemanlardan oluşur. A kümesinde x ≥ -2 ve x < 3, B kümesinde ise x > 1 ve x ≤ 5'tir. Ortak koşul x > 1 ve x < 3 ile B'den gelen x = 3'ü içermeyen, ancak B'den gelen x = 3'ü içeren sınırdır. Bu nedenle A ∩ B = (1, 3] olur.

Soru 2: Bir otomobilin deposunda 40 litre benzin vardır. Bu otomobil ile 8 litre benzin tüketildiğinde kalan benzin miktarını ifade eden aralık aşağıdakilerden hangisidir?
a) (0, 32]
b) [0, 32]
c) (0, 32)
d) [0, 32)
e) [8, 40]
Cevap: d) [0, 32)
Çözüm: Başlangıçta 40 litre benzin vardır. 8 litre tüketildiğinde kalan benzin 32 litredir. Depoda kalan benzin miktarı en az 0 litre (depo tamamen boş) olabilir. Ancak 32 litreye eşit olabilir (henüz benzin tüketilmemişse) fakat 32 litreden fazla olamaz. Bu nedenle kalan benzin miktarı [0, 32) aralığındadır.

Soru 3: A = [-1, 4] ve B = (2, 6) kümeleri veriliyor. A \ B (A fark B) kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
a) [-1, 2]
b) [-1, 2)
c) [-1, 6)
d) (2, 4]
e) [-1, 2]
Cevap: a) [-1, 2]
Çözüm: A \ B, A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanlardan oluşur. A = [-1, 4] ve B = (2, 6) olduğuna göre, A'dan B'nin elemanlarını çıkarırsak geriye [-1, 2] aralığı kalır. x = 2 noktası B'de olmadığı için (B, 2'den büyük sayıları içerir) A \ B'ye dahildir.