Bu ders notunda, belirli integral kavramının temelini oluşturan Riemann alt toplam ve Riemann üst toplam kavramlarını öğreneceğiz. Bu yöntem, bir eğri altında kalan alanın yaklaşık olarak hesaplanması için kullanılan sistematik bir yaklaşımdır.
Kapalı bir aralıkta (örneğin \([a, b]\)) sürekli veya parçalı sürekli bir \(f(x)\) fonksiyonu verilsin. Bu fonksiyonun grafiği altında kalan alanı hesaplamak istediğimizde, bu alanı dikdörtgenlerin alanları toplamı ile yaklaşık olarak ifade edebiliriz. İşte bu yaklaşımın iki önemli türü alt toplam (lower sum) ve üst toplam (upper sum)'dır.
\([a, b]\) aralığını sonlu sayıda alt aralığa bölelim:
\(P = \{x_0, x_1, x_2, ..., x_n\}\)
Burada \(a = x_0 < x_1 < x_2 < ... < x_n = b\) olmalıdır.
Her bir alt aralığın uzunluğu \(\Delta x_i = x_i - x_{i-1}\) şeklindedir.
Her \([x_{i-1}, x_i]\) alt aralığı için:
Riemann Alt Toplamı (Lower Sum):
\(L(P, f) = \sum_{i=1}^{n} m_i \cdot \Delta x_i\)
Riemann Üst Toplamı (Upper Sum):
\(U(P, f) = \sum_{i=1}^{n} M_i \cdot \Delta x_i\)
Alt toplam, her alt aralıkta fonksiyonun minimum değerini yükseklik kabul eden dikdörtgenlerin alanları toplamıdır. Bu, gerçek alandan daha küçük veya eşit bir tahmin verir (eğri altında kalır).
Üst toplam ise her alt aralıkta fonksiyonun maksimum değerini yükseklik kabul eden dikdörtgenlerin alanları toplamıdır. Bu, gerçek alandan daha büyük veya eşit bir tahmin verir (eğrinin üzerine taşar).
\(\int_a^b f(x)dx = \sup\{L(P, f)\} = \inf\{U(P, f)\}\)
\(f(x) = x^2\) fonksiyonu, \([0, 2]\) aralığı, 4 eşit alt aralıklı bölüntü:
Hesaplamalar yapıldığında alt toplamın gerçek integral değerinden küçük, üst toplamın ise büyük çıktığı görülür. Alt aralık sayısı arttıkça her iki toplam da gerçek integral değerine yakınsar.
Bu kavramları iyi anlamak, integral hesabın mantığını kavramak ve ileri analiz konularına hazırlanmak için kritik öneme sahiptir.
