Sanal sayının kuvvetleri (i, i², i³, i⁴)

Question

Bu konuyu anlamakta zorlanıyorum. Sanal sayıların kuvvetlerinin neden periyodik olarak tekrar ettiğini tam olarak kavrayamadım. Özellikle i³'ün neden -i'ye eşit olduğu kafamı karıştırıyor.

Answer 1

📚 Sanal Sayı ve Kuvvetleri

Sanal birim i, matematikte √-1 olarak tanımlanır. Yani i² = -1'dir. Bu temel tanımdan yola çıkarak i'nin kuvvetlerini hesaplayabiliriz.

🔢 i'nin Temel Kuvvetleri

• i¹ = i ➡️ Birinci kuvvet kendisine eşittir
• i² = -1 ➡️ Tanım gereği
• i³ = i² × i = (-1) × i = -i ➡️ Üçüncü kuvvet negatif sanal birim
• i⁴ = i² × i² = (-1) × (-1) = 1 ➡️ Dördüncü kuvvet 1'e eşittir

🔄 Döngüsel Özellik

i'nin kuvvetleri her 4'te bir tekrar eder. Bu çok önemli bir özelliktir:

• i¹ = i
• i² = -1
• i³ = -i
• i⁴ = 1
• i⁵ = i
• i⁶ = -1
• i⁷ = -i
• i⁸ = 1

🎯 Genel Kural

Herhangi bir n tam sayısı için iⁿ'yi bulmak için:

• n'yi 4'e böleriz
• Kalanı buluruz
• Kalan 0 ise: iⁿ = 1
• Kalan 1 ise: iⁿ = i
• Kalan 2 ise: iⁿ = -1
• Kalan 3 ise: iⁿ = -i

💡 Örnekler

i¹⁵ için:

• 15 ÷ 4 = 3 tam ve kalan 3
• Kalan 3 olduğu için i¹⁵ = -i

i²⁰ için:

• 20 ÷ 4 = 5 tam ve kalan 0
• Kalan 0 olduğu için i²⁰ = 1

📌 Önemli Noktalar

• ✅ i⁴ = 1 olduğunu unutmayın
• ✅ i³ = -i olduğunu hatırlayın
• ✅ Döngüsel yapıyı anlamak büyük kuvvetleri kolayca hesaplamanızı sağlar
• ✅ i⁰ = 1'dir (sıfırıncı kuvvet her zaman 1'dir)