Kesişim (∩) İşlemi
Matematikte, özellikle kümeler ve sayı aralıkları ile çalışırken, kesişim çok önemli bir işlemdir. Kesişim, ortak elemanları bulmak anlamına gelir.
Kesişim Nedir?
İki sayı aralığının kesişimi (∩), bu iki aralığın ortak elemanlarının oluşturduğu yeni aralıktır. Yani, her iki aralıkta da bulunan sayıların kümesidir.
Eğer iki aralığın hiç ortak elemanı yoksa, bu durumda kesişimleri boş küme olur ve bunu \( \varnothing \) sembolü ile gösteririz.
Kesişim Nasıl Bulunur?
Kesişimi bulmak için şu adımları izleyebilirsiniz:
- İki aralığı aynı sayı doğrusu üzerinde hayal edin veya çizin.
- Her iki aralığın da üzerinde olduğu bölgeyi belirleyin. Bu bölge, kesişim aralığıdır.
- Yeni aralığın başlangıç ve bitiş değerlerini, ortak bölgenin en sol ve en sağ noktalarından seçin.
Örneklerle Açıklama
Örnek 1: \( A = [1, 5] \) ve \( B = [3, 7] \) aralıklarının kesişimini bulalım.
- A aralığı: 1'den 5'e kadar (1 ve 5 dahil)
- B aralığı: 3'ten 7'ye kadar (3 ve 7 dahil)
- Her iki aralıkta da bulunan sayılar 3, 4 ve 5'tir.
- Bu sayılar 3'ten başlayıp 5'te bitmektedir.
Sonuç: \( A \cap B = [3, 5] \)
Örnek 2: \( C = (-\infty, 4) \) ve \( D = (2, 8] \) aralıklarının kesişimini bulalım.
- C aralığı: 4'ten küçük tüm sayılar (4 dahil değil)
- D aralığı: 2'den büyük, 8'e küçük veya eşit tüm sayılar (2 dahil değil, 8 dahil)
- Ortak sayılar, 2'den büyük (2 dahil değil) VE 4'ten küçük (4 dahil değil) olan sayılardır.
Sonuç: \( C \cap D = (2, 4) \)
Örnek 3 (Boş Kümeye Örnek): \( E = [1, 3] \) ve \( F = [5, 7] \) aralıklarının kesişimini bulalım.
- E aralığında 1, 2, 3 sayıları vardır.
- F aralığında 5, 6, 7 sayıları vardır.
- Bu iki listenin hiç ortak sayısı yoktur.
Sonuç: \( E \cap F = \varnothing \)
Özet
- Kesişim (∩), iki kümenin ortak elemanlarının kümesidir.
- Sayı doğrusunda, her iki aralığın da üzerine çizildiği bölgeyi temsil eder.
- Ortak eleman yoksa sonuç boş küme (\( \varnothing \)) olur.
