10. Sınıf Kombinasyon (Seçme) Formülü ve Hesaplama

Question

Kombinasyon formülünü ezberledim ama hangi soruda kombinasyon kullanacağımı bazen karıştırıyorum. Özellikle sıralamanın önemli olmadığı durumları ayırt etmekte zorlanıyorum. Formülde neden permütasyondaki gibi faktöriyel kullandığımızı da tam olarak kavrayamadım.

Answer 1

Kombinasyon (Seçme), bir kümenin elemanlarından oluşan alt kümelerin her birine denir. Sıralama önemli değildir. Örneğin {A, B, C} kümesinden 2'li gruplar seçmek istersek, (A,B) ile (B,A) aynı grup sayılır çünkü ikisi de aynı elemanlardan oluşur.

Kombinasyon Formülü

n elemanlı bir kümeden r elemanlı farklı grupların (alt kümelerin) sayısını bulma formülü aşağıdaki gibidir:

\( C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \)

Bu formülde;

• n: Toplam eleman sayısı
• r: Seçilecek eleman sayısı
• !: Faktöriyel anlamına gelir (Örn: 4! = 4x3x2x1 = 24)

Kombinasyon Nasıl Hesaplanır? (Adım Adım)

Örnek: 5 farklı meyveden 3 tanesi kaç farklı şekilde seçilebilir? (n=5, r=3)

Adım 1: Formülü yaz. \( C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} \)

Adım 2: Pay ve paydadaki faktöriyelleri hesapla. \( = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1)} \)

Adım 3: Sadeleştir ve sonucu bul. \( = \frac{120}{(6) \times (2)} = \frac{120}{12} = 10 \)

Sonuç olarak, 5 meyveden 3 tanesi 10 farklı şekilde seçilebilir.

Kombinasyonun Özellikleri

• \( C(n, 0) = 1 \) (Hiçbir eleman seçmemek 1 yoldur).
• \( C(n, n) = 1 \) (Tüm elemanları seçmek 1 yoldur).
• \( C(n, 1) = n \) (Sadece 1 eleman seçmek n yoldur).
• \( C(n, r) = C(n, n-r) \) (Örneğin, 5 elemandan 2'sini seçmekle 3'ünü seçmemek aynı sayıdadır).

Kombinasyon ile Permütasyon Arasındaki Fark

• Kombinasyonda sadece seçme (grup oluşturma) vardır. Sıralama önemsizdir.
• Permütasyonda ise hem seçme hem de sıralama vardır. Aynı elemanlar farklı sıralandığında farklı sonuçlar oluşur.

Permütasyon formülü: \( P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} \)

İki formül arasındaki ilişki: \( P(n, r) = C(n, r) \times r! \)

Yani, bir gruptaki elemanların kaç farklı şekilde sıralanabileceği (r!) kombinasyon sonucu ile çarpılarak permütasyon sonucuna ulaşılır.

Answer 2

10. Sınıf Kombinasyon (Seçme) Formülü ve Hesaplama Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir okulun 10. sınıfında 5 farklı öğrenci arasından, bir sınıf başkanı ve bir başkan yardımcısı seçilecektir. Bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?
a) 5   b) 10   c) 15   d) 20   e) 25
Cevap: d) 20
Çözüm: Bu bir sıralı seçim olduğu için permütasyon ile çözülür. İlk seçilen başkan (5 farklı kişi), ikinci seçilen yardımcı (kalan 4 farklı kişi) olur. Toplam durum: \(5 \times 4 = 20\) farklı şekilde.

Soru 2: 8 kişilik bir gruptan, özellikleri fark etmeksizin 3 kişilik bir ekip oluşturulacaktır. Bu ekip kaç farklı şekilde oluşturulabilir?
a) 24   b) 36   c) 48   d) 56   e) 64
Cevap: d) 56
Çözüm: Bu bir sırasız seçim olduğu için kombinasyon ile çözülür. Kombinasyon formülü \(C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}\) kullanılarak: \(C(8, 3) = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56\) farklı şekilde.

Soru 3: Bir torbada 4 kırmızı ve 6 mavi top vardır. Bu torbadan rastgele çekilen 2 topun ikisinin de mavi olma olasılığı kaçtır?
a) \(\frac{1}{3}\)   b) \(\frac{1}{4}\)   c) \(\frac{1}{5}\)   d) \(\frac{1}{6}\)   e) \(\frac{2}{5}\)
Cevap: a) \(\frac{1}{3}\)
Çözüm: İstenen durum: 6 mavi toptan 2'sinin seçilme sayısıdır, \(C(6, 2) = 15\). Tüm durumlar: 10 toptan 2'sinin seçilme sayısıdır, \(C(10, 2) = 45\). Olasılık: \(\frac{15}{45} = \frac{1}{3}\).