# 📘 Ders Notu: sin²x + cos²x = 1 Özdeşliği
🎯 Temel Trigonometrik Özdeşlik
Trigonometrinin en temel ve en önemli özdeşliklerinden biri olan sin²x + cos²x = 1 bağıntısı, bir dik üçgendeki kenar oranlarından veya birim çemberden türetilebilen evrensel bir matematiksel gerçektir.
🔍 Özdeşliğin İki Farklı İspatı
📐 1. Dik Üçgen Üzerinden İspat
Bir dik üçgende:
- 🔺 Hipotenüs uzunluğu: c
- 🔺 x açısının karşısındaki kenar: a
- 🔺 x açısının komşu kenarı: b
Sinüs ve kosinüs tanımları:
\(\sin x = \frac{a}{c}\) ve \(\cos x = \frac{b}{c}\)
Bu durumda:
\(\sin^2 x + \cos^2 x = \left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 = \frac{a^2 + b^2}{c^2}\)
Pisagor Teoremine göre \(a^2 + b^2 = c^2\) olduğundan:
\(\sin^2 x + \cos^2 x = \frac{c^2}{c^2} = 1\)
⭕ 2. Birim Çember Üzerinden İspat
Merkezi orijinde ve yarıçapı 1 birim olan birim çemberde:
- 🎯 Çember üzerindeki herhangi bir P noktasının koordinatları: (cos x, sin x)
- 📏 Bu noktanın orijine uzaklığı: 1 birim
Uzaklık formülüne göre:
\(\sqrt{(\cos x - 0)^2 + (\sin x - 0)^2} = 1\)
İki tarafın karesini alırsak:
\((\cos x)^2 + (\sin x)^2 = 1\) yani \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)
✨ Özdeşliğin Önemli Özellikleri
- ✅ Her gerçel x sayısı için geçerlidir (90°, 180° gibi özel açılar dahil)
- ✅ Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarını birbirine bağlayan temel ilişkidir
- ✅ Diğer trigonometrik özdeşliklerin türetilmesinde kullanılır
- ✅ \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\) veya \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\) şeklinde düzenlenebilir
📊 Pratik Uygulama Örnekleri
🧮 Örnek 1: Eksik Bilgiyi Tamamlama
\(\sin x = \frac{3}{5}\) ve x dar açı ise \(\cos x\) değerini bulalım:
\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)
\(\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 x = 1\)
\(\frac{9}{25} + \cos^2 x = 1\)
\(\cos^2 x = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\)
\(\cos x = \frac{4}{5}\) (x dar açı olduğu için pozitif)
🔀 Örnek 2: İfade Sadeleştirme
\(\frac{\sin^2 x}{1 - \cos x}\) ifadesini sadeleştirelim:
Paydaki \(\sin^2 x\) yerine \(1 - \cos^2 x\) yazalım:
\(\frac{1 - \cos^2 x}{1 - \cos x} = \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{1 - \cos x} = 1 + \cos x\)
🎓 Diğer Trigonometrik Özdeşliklerle İlişkisi
- ➗ \(\tan^2 x + 1 = \sec^2 x\) (sin²x+cos²x=1 eşitliğinin her iki tarafı cos²x'e bölünerek elde edilir)
- ➗ \(1 + \cot^2 x = \csc^2 x\) (sin²x+cos²x=1 eşitliğinin her iki tarafı sin²x'e bölünerek elde edilir)
💡 Önemli Hatırlatmalar
- ⚠️ Bu özdeşlik sadece sinüs ve kosinüsün kareleri toplamı için geçerlidir
- ⚠️ \(\sin x + \cos x = 1\) şeklinde bir özdeşlik yoktur
- ⚠️ Özdeşlik, tüm trigonometrik denklem çözümlerinde temel referans noktasıdır
- ⚠️ Geometri, fizik, mühendislik ve sinyal işleme gibi birçok alanda uygulama alanı bulur
Bu temel özdeşliği iyi kavramak, trigonometri konusundaki diğer tüm konuları anlamada size büyük kolaylık sağlayacaktır. 🚀
