Standart Sapma Nedir?
Standart sapma, bir veri setindeki sayıların aritmetik ortalamadan ne kadar saptığını, yani verilerin ne kadar yayılım gösterdiğini ölçen bir istatistiksel değerdir. Düşük standart sapma, verilerin ortalamaya yakın, yani birbirine benzer olduğunu; yüksek standart sapma ise verilerin ortalamadan uzak, yani geniş bir aralığa yayıldığını gösterir.
Standart Sapma Formülü
Standart sapmanın hesaplanabilmesi için öncelikle varyans bulunur. Daha sonra varyansın karekökü alınarak standart sapmaya ulaşılır. İki tür standart sapma vardır:
1. Anakütle (Popülasyon) Standart Sapması (σ)
Tüm veri seti (anakütle) üzerinden hesaplanır. Formülü:
\( \sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2}{N}} \)
Açıklamalar:
- σ (sigma): Anakütle standart sapması.
- N: Anakütledeki toplam veri sayısı.
- xi: Anakütledeki her bir veri değeri.
- μ (mu): Anakütlenin aritmetik ortalaması. \( \mu = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N} \)
- Σ (sigma): Toplam sembolü.
2. Örneklem Standart Sapması (s)
Anakütleden alınan bir örneklem (sample) üzerinden hesaplanır. Formülü anakütleden biraz farklıdır. Paydada (N-1) kullanılır. Buna Bessel düzeltmesi denir ve örneklem istatistiğini anakütle değerine daha yakın tahmin etmek için yapılır.
\( s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}} \)
Açıklamalar:
- s: Örneklem standart sapması.
- n: Örneklemdeki toplam veri sayısı.
- xi: Örneklemdeki her bir veri değeri.
- x̄ (x üst çizgi): Örneklemin aritmetik ortalaması. \( \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \)
Hesaplama Adımları
Standart sapmayı hesaplamak için şu adımlar izlenir:
- Ortalamayı hesapla: Tüm veri noktalarının toplamını, veri sayısına böl.
- Sapmaları bul: Her bir veri noktasından ortalamayı çıkar. \( (x_i - \text{ortalama}) \)
- Sapmaların karesini al: Bulduğun her bir sapma değerinin karesini al. \( (x_i - \text{ortalama})^2 \)
- Karelerin ortalamasını al (Varyans): Sapmaların karelerinin toplamını, anakütle için N'ye, örneklem için (n-1)'e böl.
- Karekök al (Standart Sapma): Bulduğun varyans değerinin karekökünü al.
Örnek Hesaplama (Örneklem)
Bir sınıftaki 5 öğrencinin matematik sınav notları: 70, 80, 90, 60, 100 olsun.
- Ortalama (x̄): (70+80+90+60+100) / 5 = 400 / 5 = 80
- Sapmaların Kareleri:
- (70-80)² = (-10)² = 100
- (80-80)² = (0)² = 0
- (90-80)² = (10)² = 100
- (60-80)² = (-20)² = 400
- (100-80)² = (20)² = 400
- Karelerin Toplamı: 100 + 0 + 100 + 400 + 400 = 1000
- Varyans (s²): 1000 / (5 - 1) = 1000 / 4 = 250
- Standart Sapma (s): √250 ≈ 15.81
Sonuç olarak, bu örneklem için standart sapma yaklaşık 15.81'dir. Bu, öğrenci notlarının ortalamadan ortalama olarak yaklaşık 15.81 puan saptığını gösterir.