🧮 Tanjant Fonksiyonunun Türevi
Tanjant fonksiyonunun türevi, trigonometri ve kalkülüsün önemli bir konusudur. $\tan(x)$ fonksiyonunun türevi $\sec^2(x)$'tir. Bu sonucu elde etmek için, bölüm kuralını ve temel trigonometrik özdeşlikleri kullanırız.
- 📐 Tanjantın Tanımı: $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$
- ➗ Bölüm Kuralı: Eğer $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ ise, $f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$
- ✏️ Uygulama:
- $u(x) = \sin(x)$ ve $v(x) = \cos(x)$ olsun.
- $u'(x) = \cos(x)$ ve $v'(x) = -\sin(x)$ olur.
- Bölüm kuralını uygulayalım:
$$\frac{d}{dx} \tan(x) = \frac{\cos(x) \cdot \cos(x) - \sin(x) \cdot (-\sin(x))}{\cos^2(x)}$$
$$\frac{d}{dx} \tan(x) = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}$$
- Trigonometrik özdeşlik $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ olduğundan:
$$\frac{d}{dx} \tan(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$$
- $\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}$ olduğundan:
$$\frac{d}{dx} \tan(x) = \sec^2(x)$$
➕ Tanjant Fonksiyonunun İntegrali
Tanjant fonksiyonunun integrali, trigonometri ve integral hesabın birleştiği bir konudur. $\tan(x)$ fonksiyonunun integrali $\int \tan(x) \, dx = -\ln|\cos(x)| + C$'dir. Bu sonucu elde etmek için, yerine koyma yöntemini ve logaritma özelliklerini kullanırız.
- 🔄 Yerine Koyma Yöntemi: İntegrali daha basit bir forma dönüştürmek için kullanılır.
- 📝 Adımlar:
- $\int \tan(x) \, dx = \int \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \, dx$
- $u = \cos(x)$ olsun.
- $du = -\sin(x) \, dx$ olur.
- $-\int \frac{1}{u} \, du$
- $-\ln|u| + C$
- $u = \cos(x)$'i yerine koyarsak:
$$-\ln|\cos(x)| + C$$
- 💡 Alternatif Gösterim: $\ln|\sec(x)| + C$ (Çünkü $\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}$ ve $\ln(\frac{1}{a}) = -\ln(a)$)
🤔 Örnek Soru ve Çözümü
Soru: $\int \tan(2x) \, dx$ integralini bulunuz.
- ✅ Çözüm:
- $u = 2x$ olsun.
- $du = 2 \, dx$ veya $dx = \frac{1}{2} \, du$ olur.
- $\frac{1}{2} \int \tan(u) \, du$
- $\frac{1}{2} (-\ln|\cos(u)|) + C$
- $u = 2x$'i yerine koyarsak:
$$-\frac{1}{2} \ln|\cos(2x)| + C$$
📚 Özet
Tanjantın türevi ve integrali, trigonometri ve kalkülüsün temel kavramlarını bir araya getirir. Bu konuları anlamak, daha karmaşık problemleri çözmek için önemlidir.
- 🌱 Türevi: $\frac{d}{dx} \tan(x) = \sec^2(x)$
- ✨ İntegrali: $\int \tan(x) \, dx = -\ln|\cos(x)| + C$
