# 📚 Köklü Sayılar: Dışarı Çıkarma ve İşlem Yapma (Ders Notu)
🔍 Köklü Sayılar Nedir?
Köklü sayılar, bir sayının hangi sayının kuvveti olduğunu gösteren matematiksel ifadelerdir. En yaygın olanı karekök (\( \sqrt{} \)) olmakla birlikte, küpkök (\( \sqrt[3]{} \)) ve diğer derecelerde kökler de bulunur.
Matematiksel gösterim: \( \sqrt[n]{a} \) ifadesi, "n. dereceden kök a" şeklinde okunur ve \( b^n = a \) eşitliğini sağlayan \( b \) sayısını ifade eder.
✨ Kök Dışına Çıkarma Kuralları
Bir sayıyı kök dışına çıkarmak için, kökün derecesine uygun şekilde çarpanlarına ayırma yapılır.
📐 Karekök (\( \sqrt{} \)) Dışına Çıkarma
- ✅ Tam Kare Sayılar: \( \sqrt{36} = 6 \) (çünkü \( 6^2 = 36 \))
- ✅ Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemi:
- \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \)
- \( \sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = 6\sqrt{5} \)
- ✅ Kural: Kök içindeki sayıyı, bir tam kare ile diğer bir çarpana ayır. Tam kare kısmı kök dışına çıkar.
🎲 Küpkök (\( \sqrt[3]{} \)) ve Yüksek Dereceli Kökler
- ✅ Tam Küp Sayılar: \( \sqrt[3]{64} = 4 \) (çünkü \( 4^3 = 64 \))
- ✅ Asal Çarpanlara Ayırma:
- \( \sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \times 2} = \sqrt[3]{27} \times \sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2} \)
- \( \sqrt[4]{48} = \sqrt[4]{16 \times 3} = 2\sqrt[4]{3} \)
- ✅ Kural: Kök derecesine uygun tam kuvveti (küp, dördüncü kuvvet vb.) kök dışına çıkar.
🧮 Köklü Sayılarla İşlemler
➕ Toplama ve Çıkarma
Önemli Kural: Sadece kök içleri ve kök dereceleri aynı olan ifadeler toplanıp çıkarılabilir.
- ✅ \( 5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 7\sqrt{3} \)
- ✅ \( 8\sqrt[3]{5} - 3\sqrt[3]{5} = 5\sqrt[3]{5} \)
- ❌ \( 4\sqrt{2} + 3\sqrt{5} \) → Toplanamaz! (Kök içleri farklı)
- ✅ Sadeleştirerek Toplama: \( \sqrt{50} + \sqrt{18} = 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \)
✖️ Çarpma ve Bölme
Temel Kurallar:
- ✅ \( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} \)
- ✅ \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \)
- ✅ Katsayılar ayrı, kökler ayrı işleme alınır: \( m\sqrt{a} \times n\sqrt{b} = (m \times n)\sqrt{a \times b} \)
📝 Örnek Çözümler:
- \( 2\sqrt{3} \times 4\sqrt{5} = 8\sqrt{15} \)
- \( \sqrt{12} \times \sqrt{3} = \sqrt{36} = 6 \)
- \( \frac{6\sqrt{10}}{2\sqrt{5}} = 3\sqrt{2} \)
- \( \sqrt{8} \times \sqrt{2} = \sqrt{16} = 4 \)
🎯 Pratik İpuçları ve Özet
- 🔹 Kök dışına çıkarmak için asal çarpanlara ayır ve tam kuvvetleri dışarı al.
- 🔹 Toplama/çıkarma yapabilmek için kök içlerini eşitlemeye çalış.
- 🔹 Çarpma/bölmede katsayılar ve kökler ayrı ayrı işlenir.
- 🔹 \( \sqrt{a^2} = |a| \) (Mutlak değer olarak çıkar!)
- 🔹 Paydada kök varsa eşlenikle çarparak rasyonelleştir: \( \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
📊 Örnek Alıştırma Soruları
- \( \sqrt{75} + \sqrt{27} - \sqrt{12} = ? \)
- \( 2\sqrt{20} \times 3\sqrt{5} = ? \)
- \( \frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}} = ? \)
- \( \sqrt[3]{54} + 2\sqrt[3]{16} = ? \)
Matematik, kuralları doğru uyguladıkça kolaylaşan bir dildir. Köklü sayılarda temel kuralları öğrendikten sonra bol bol pratik yaparak bu konuda uzmanlaşabilirsiniz. 🚀
