Teğetin eğimi ve türev ilişkisi

Question

Bu konuyu anlamakta biraz zorlanıyorum. Bir eğri üzerindeki bir noktadan geçen teğetin eğimini bulmak için neden türev alıyoruz? İkisi arasındaki bağlantıyı tam olarak kuramadım, sanki bir eksiklik var gibi hissediyorum.

Answer 1

📈 Teğetin Eğimi ve Türev İlişkisi

Bir fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimi, o noktadaki türevin değerine eşittir. Bu, matematiğin en temel ve önemli ilişkilerinden biridir.

🎯 Teğet Doğrusu Nedir?

Bir eğri üzerindeki bir noktadan geçen ve o noktada eğriye "sadece dokunan" doğruya teğet doğrusu denir. Teğet doğrusu, o noktada fonksiyonun anlık değişim hızını temsil eder.

🧮 Türev Nedir?

Bir fonksiyonun türevi, fonksiyonun herhangi bir noktadaki anlık değişim oranını verir. Matematiksel olarak, bir \( f(x) \) fonksiyonunun \( x = a \) noktasındaki türevi:

\( f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \)

şeklinde tanımlanır.

🔗 İlişki Nasıl Kurulur?

Bir \( f(x) \) fonksiyonunun grafiği üzerinde \( A(a, f(a)) \) noktasını düşünelim. Bu noktaya çok yakın bir \( B(a+h, f(a+h)) \) noktası alalım. A ve B noktalarından geçen doğrunun eğimi (sekant doğrusu):

\( \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \)

formülü ile bulunur. \( h \) değeri 0'a yaklaştıkça, B noktası A noktasına yaklaşır ve sekant doğrusu, A noktasındaki teğet doğrusuna dönüşür.

Bu durumda, teğetin eğimi için limit ifadesi:

\( m = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \)

olur. Bu ifade, aynı zamanda \( f(x) \) fonksiyonunun \( x=a \) noktasındaki türevinin tanımıdır.

Sonuç olarak:

• ✅ \( f \) fonksiyonunun \( x=a \) noktasındaki türevi, \( f'(a) \),
• ✅ Aynı noktadaki teğet doğrusunun eğimine, \( m \), eşittir.

Yani: \( m = f'(a) \)

📝 Örnek:

\( f(x) = x^2 \) fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyonun türevi \( f'(x) = 2x \)'tir.

• ➡️ \( x = 1 \) noktasındaki türev: \( f'(1) = 2 \times 1 = 2 \)
• ➡️ Dolayısıyla, fonksiyonun \( (1, 1) \) noktasındaki teğet doğrusunun eğimi de 2'dir.

💡 Özet

• 📌 Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, o noktadaki teğet doğrusunun eğimini verir.
• 📌 Bu ilişki, türevin geometrik yorumunun temelini oluşturur.
• 📌 Teğet doğrusunun denklemi, \( (x_0, y_0) \) noktası ve \( m = f'(x_0) \) eğimi kullanılarak \( y - y_0 = m(x - x_0) \) formülüyle yazılır.