Tepe Değer Nedir?
Bir fonksiyonun grafiğinde, fonksiyonun yerel olarak en yüksek değerine ulaştığı noktaya tepe noktası, bu noktadaki fonksiyon değerine ise tepe değeri denir. Başka bir deyişle, bir tepe noktası, kendisine yakın noktaların hepsinden daha yüksek olan bir noktadır.
Tepe Noktası Nasıl Bulunur?
Bir \( f(x) \) fonksiyonunun tepe noktasını bulmak için genellikle türevden yararlanılır. İşlem adımları şu şekildedir:
- 1. Adım: Birinci Türevi Al ve Sıfıra Eşitle
Fonksiyonun birinci türevini (\( f'(x) \)) alıp sıfıra eşitleriz. Bu bize kritik noktaları verir.
\( f'(x) = 0 \)
- 2. Adım: İkinci Türev Testi Yap
Bulduğumuz her bir kritik nokta için ikinci türevi (\( f''(x) \)) hesaplarız.
- Eğer \( f''(x) < 0 \) ise, bu nokta bir yerel maksimum yani tepe noktasıdır.
- Eğer \( f''(x) > 0 \) ise, bu nokta bir yerel minimum noktasıdır.
- Eğer \( f''(x) = 0 \) ise, test sonuçsuz kalır ve başka yöntemler kullanılır.
- 3. Adım: Tepe Değerini Hesapla
Tepe noktasının x koordinatını (\( x_0 \)) orijinal fonksiyonda (\( f(x) \)) yerine koyarak tepe değerini (\( f(x_0) \)) buluruz.
Örnek: İkinci Dereceden Bir Fonksiyonda Tepe Noktası
İkinci dereceden fonksiyonlar (\( ax^2 + bx + c \)) için tepe noktası formülle de bulunabilir. \( f(x) = ax^2 + bx + c \) şeklindeki bir fonksiyonun tepe noktasının x koordinatı:
\( x = -\frac{b}{2a} \) formülü ile bulunur.
Bu x değeri fonksiyonda yerine konularak y koordinatı, yani tepe değeri hesaplanır.
Örnek: \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) fonksiyonunun tepe noktasını bulalım.
- a = 1, b = -4
- Tepe noktasının x'i: \( x = -\frac{(-4)}{2*1} = \frac{4}{2} = 2 \)
- Tepe değeri (y) için x=2'yi fonksiyonda yazalım: \( f(2) = (2)^2 - 4*(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \)
- Dolayısıyla, fonksiyonun tepe noktası (2, -1) ve tepe değeri -1'dir.
Özet
- Tepe noktası, bir fonksiyonun yerel maksimum noktasıdır.
- Tepe noktasını bulmak için türev kullanılır (\( f'(x) = 0 \)) ve ikinci türev testi yapılır (\( f''(x) < 0 \)).
- İkinci dereceden fonksiyonlarda tepe noktası \( x = -\frac{b}{2a} \) formülü ile direkt bulunabilir.
