Ters trigonometrik fonksiyonlar (Ark sin Ark cos)

Question

Bu fonksiyonların ne işe yaradığını ve hangi durumlarda kullanıldığını tam olarak anlayamadım. Özellikle, bir açıyı bulmak için sinüs veya kosinüs değerini nasıl kullandığımız kafamı karıştırıyor. Bu konuyu basit bir örnekle açıklayabilir misiniz?

Answer 1

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

Trigonometrik fonksiyonlar bir açıyı alır ve bir oran verir. Ters trigonometrik fonksiyonlar ise tam tersini yapar; bir oranı alır ve bize o oranı veren açıyı bulur. Bu fonksiyonlara arküs fonksiyonları da denir.

Arcsin (Ark sinüs)

Arcsin fonksiyonu, sinüs değeri verilen bir açıyı bulmamızı sağlar. Sinüs değeri \( x \) olan açıyı ifade eder ve \( y = \arcsin(x) \) şeklinde yazılır.

Tanım Kümesi (Girdi): \( [-1, 1] \)

Değer Kümesi (Çıktı - Açı): \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) radyan veya \( [-90^\circ, 90^\circ] \)

Önemli Noktalar:

• Sinüs fonksiyonu birebir değildir, bu yüzden tersini alabilmek için tanımını daralttık.
• Örneğin, \( \arcsin(\frac{1}{2}) = 30^\circ \) veya \( \frac{\pi}{6} \) radyandır. Çünkü \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \)'dir.
• \( \arcsin(-x) = -\arcsin(x) \) kuralı geçerlidir.

Arccos (Ark kosinüs)

Arccos fonksiyonu, kosinüs değeri verilen bir açıyı bulmamızı sağlar. Kosinüs değeri \( x \) olan açıyı ifade eder ve \( y = \arccos(x) \) şeklinde yazılır.

Tanım Kümesi (Girdi): \( [-1, 1] \)

Değer Kümesi (Çıktı - Açı): \( [0, \pi] \) radyan veya \( [0^\circ, 180^\circ] \)

Önemli Noktalar:

• Kosinüs fonksiyonunun tersini alabilmek için tanımını bu aralıkta sınırlandırdık.
• Örneğin, \( \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ \) veya \( \frac{\pi}{3} \) radyandır. Çünkü \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \)'dir.
• \( \arccos(-x) = \pi - \arccos(x) \) kuralı geçerlidir.

Temel İlişki

Bir \( x \) sayısı için arcsin ve arccos arasında önemli bir bağlantı vardır:

\( \arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2} \)

Yani, bir sayının arcsin ve arccos'u toplandığında her zaman \( 90^\circ \)'ye eşit olur.

Örnek Problem

Soru: \( \sin(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) ise ve \( \theta \) dar açı ise, \( \theta \) kaç derecedir?

Çözüm: Bu soruyu ters trigonometrik fonksiyon kullanarak çözebiliriz.

\( \theta = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) \)

Sinüsü \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) olan dar açı \( 60^\circ \)'dir.

Bu nedenle, \( \theta = 60^\circ \) veya \( \frac{\pi}{3} \) radyandır.

Answer 2

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Birim çember üzerinde \( \sin(\theta) = \frac{1}{2} \) eşitliğini sağlayan sonsuz sayıda \( \theta \) açısı vardır. Ancak \( \arcsin(x) \) fonksiyonu bu açılardan sadece bir tanesini verir. Buna göre, \( \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) \) ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( \frac{\pi}{6} \)   b) \( \frac{5\pi}{6} \)   c) \( \frac{\pi}{3} \)   d) \( \frac{2\pi}{3} \)   e) \( \frac{7\pi}{6} \)
Cevap: a) \( \frac{\pi}{6} \)
Çözüm: \( \arcsin(x) \) fonksiyonunun temel değer aralığı \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \)'dir. Bu aralıkta \( \sin(\theta) = \frac{1}{2} \) eşitliğini sağlayan açı \( \frac{\pi}{6} \) radyandır.

Soru 2: \( \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \) ifadesinin değeri nedir?
a) \( \frac{\pi}{6} \)   b) \( \frac{5\pi}{6} \)   c) \( \frac{2\pi}{3} \)   d) \( \frac{3\pi}{4} \)   e) \( \frac{5\pi}{4} \)
Cevap: b) \( \frac{5\pi}{6} \)
Çözüm: \( \arccos(x) \) fonksiyonunun temel değer aralığı \( [0, \pi] \)'dir. Bu aralıkta kosinüsü \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \) olan açıyı bulmalıyız. \( \cos(150^\circ) = \cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) olduğundan cevap \( \frac{5\pi}{6} \)'dır.

Soru 3: \( \sin(\arccos(\frac{3}{5})) \) ifadesinin değeri kaçtır?
a) \( \frac{3}{5} \)   b) \( \frac{4}{5} \)   c) \( \frac{2}{5} \)   d) \( \frac{1}{5} \)   e) \( \frac{\sqrt{7}}{5} \)
Cevap: b) \( \frac{4}{5} \)
Çözüm: \( \arccos(\frac{3}{5}) = \theta \) dersek, \( \cos(\theta) = \frac{3}{5} \) olur. Bir dik üçgende komşu kenar 3, hipotenüs 5 ise karşı kenar \( \sqrt{5^2 - 3^2} = 4 \) olur. Bu durumda \( \sin(\theta) = \frac{4}{5} \) bulunur.