Toplam fark formülleri (Trigonometri)

Question

Toplam fark formüllerini ezberlemekte zorlanıyorum. Sinüs ve kosinüs için olan formüllerin nereden geldiğini anlamıyorum, sadece formülü görünce hangisini kullanacağımı karıştırıyorum. Özellikle işaret konusunda sürekli hata yapıyorum.

Answer 1

📐 Toplam Fark Formülleri (Trigonometri)

Trigonometride, iki açının toplamının veya farkının trigonometrik değerlerini (sinüs, kosinüs, tanjant) bulmamızı sağlayan çok önemli formüllerdir. Bu formüller, trigonometrik ifadeleri sadeleştirmede, denklem çözmede ve ispat yapmada sıkça kullanılır.

🧠 Sinüs Toplam ve Fark Formülleri

İki açının toplamının veya farkının sinüs değeri aşağıdaki gibi hesaplanır:

• ✅ Toplam Formülü: \( \sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B \)
• ✅ Fark Formülü: \( \sin(A - B) = \sin A \cdot \cos B - \cos A \cdot \sin B \)

🧠 Kosinüs Toplam ve Fark Formülleri

İki açının toplamının veya farkının kosinüs değeri aşağıdaki gibi hesaplanır:

• ✅ Toplam Formülü: \( \cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B - \sin A \cdot \sin B \)
• ✅ Fark Formülü: \( \cos(A - B) = \cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin B \)

🧠 Tanjant Toplam ve Fark Formülleri

İki açının toplamının veya farkının tanjant değeri aşağıdaki gibi hesaplanır. Bu formülleri kullanabilmek için tanjantın tanımlı olduğu açılar seçilmelidir.

• ✅ Toplam Formülü: \( \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \cdot \tan B} \)
• ✅ Fark Formülü: \( \tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \cdot \tan B} \)

💡 Formülleri Hatırlama Yöntemi

Bu formülleri ezberlerken şu ipuçları işinize yarayabilir:

• 📌 Sinüs: İşlem her zaman aynı işaretle başlar. sin(A+B) için formül sinAcosB + cosAsinB şeklindedir. Toplamda "+", farkta "-" kullanılır.
• 📌 Kosinüs: İşlem her zaman karışık başlar. cos(A+B) için formül cosAcosB - sinAsinB şeklindedir. Toplamda "-", farkta "+" kullanılır.
• 📌 Tanjant: Pay, işlemin aynısıdır (toplam için toplama, fark için çıkarma). Payda ise her zaman "1 - tanAların çarpımı" formatındadır, sadece toplamda "-", farkta "+" olur.

🎯 Örnek Uygulamalar

Şimdi bu formülleri birkaç örnekle pekiştirelim:

➡️ Örnek 1:

sin(75°) değerini bulalım.

75° = 45° + 30° şeklinde yazabiliriz.

\( \sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) \)

\( = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) \)

\( = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \)

\( = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \)

➡️ Örnek 2:

cos(15°) değerini bulalım.

15° = 45° - 30° şeklinde yazabiliriz.

\( \cos(15^\circ) = \cos(45^\circ - 30^\circ) \)

\( = \cos(45^\circ)\cos(30^\circ) + \sin(45^\circ)\sin(30^\circ) \)

\( = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \)

\( = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \)

📚 Önemli Uyarılar

• ⚠️ Bu formüller sadece iki açı için geçerlidir. Üç veya daha fazla açı için formüller genişletilebilir.
• ⚠️ Tanjant formüllerini kullanırken, paydanın sıfır olmamasına dikkat edilmelidir. Aksi takdirde sonuç tanımsız olur.
• ⚠️ Açıların birimine (derece veya radyan) dikkat edin ve hesap makinanızı buna göre ayarlayın.