Tümleme Nedir? TYT Matematik Konu Anlatımı ve Örnek Sorular

Question

Tümleme konusunu TYT Matematik'te anlamakta zorlanıyorum. Ne olduğunu ve nasıl kullanıldığını örnek sorularla öğrenmek istiyorum.

Answer 1

➕ Tümleme Nedir?

Tümleme, matematikte bir kümenin evrensel küme içindeki eksik elemanlarını ifade eder. Yani, bir kümenin tümleyeni, o kümede olmayan ama evrensel kümede bulunan tüm elemanları içerir.

• 🧠 Evrensel Küme (E): İçinde işlem yaptığımız tüm elemanları kapsayan kümedir. Örneğin, sayılarla ilgili bir problemde evrensel küme doğal sayılar olabilir.
• 🍎 A Kümesi: Evrensel kümenin bir alt kümesidir.
• 🌙 A'nın Tümleyeni (A'): Evrensel kümede olup A kümesinde olmayan elemanların kümesidir.

Sembolle gösterimi şu şekildedir:

$A' = \{x : x \in E \text{ ve } x \notin A\}$

Bu ifade, "A'nın tümleyeni, öyle x'lerden oluşur ki, x evrensel kümenin elemanıdır ve x A kümesinin elemanı değildir" şeklinde okunur.

🎨 Tümleme Nasıl Bulunur?

Bir kümenin tümleyenini bulmak için şu adımları izleyebiliriz:

• ⚙️ Adım 1: Evrensel kümeyi belirle.
• 🔍 Adım 2: Tümleyenini bulmak istediğimiz kümeyi belirle.
• ✅ Adım 3: Evrensel kümede olup da, belirlediğimiz kümede olmayan tüm elemanları listele. İşte bu liste, kümemizin tümleyenidir.

💡 Örnekler

Örnek 1:

Evrensel küme E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} olsun. A kümesi ise A = {2, 4, 6, 8, 10} olsun. A'nın tümleyenini bulun.

Çözüm:

A'nın tümleyeni, E kümesinde olup A kümesinde olmayan elemanlardan oluşur. Bu elemanlar şunlardır: 1, 3, 5, 7, 9.

Dolayısıyla, A' = {1, 3, 5, 7, 9}'dur.

Örnek 2:

Evrensel küme E = {a, b, c, d, e} olsun. B kümesi ise B = {a, c, e} olsun. B'nin tümleyenini bulun.

Çözüm:

B'nin tümleyeni, E kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanlardan oluşur. Bu elemanlar şunlardır: b, d.

Dolayısıyla, B' = {b, d}'dir.

❓ Örnek Soru Çözümleri

Şimdi de TYT sınavında çıkabilecek tarzda örnek sorular çözelim.

Soru 1:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} evrensel kümesi veriliyor. A = {1, 3, 5, 7} ve B = {2, 4, 6} kümeleri için $(A \cup B)'$ kümesini bulun.

Çözüm:

Öncelikle $A \cup B$ kümesini bulalım. $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ olur.

Şimdi $(A \cup B)'$ kümesini bulalım. Bu küme, E'de olup $A \cup B$'de olmayan elemanlardan oluşur. Dolayısıyla $(A \cup B)' = \{8\}$ olur.

Soru 2:

E = {x : x, 10'dan küçük pozitif tam sayı} evrensel kümesi veriliyor. A = {x : x, çift sayı} ve B = {x : x, 3'ün katı} kümeleri için $A' \cap B'$ kümesini bulun.

Çözüm:

Öncelikle kümeleri listeleyelim:

• E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
• A = {2, 4, 6, 8}
• B = {3, 6, 9}

Şimdi A' ve B' kümelerini bulalım:

• A' = {1, 3, 5, 7, 9}
• B' = {1, 2, 4, 5, 7, 8}

Son olarak $A' \cap B'$ kümesini bulalım. Bu küme, A' ve B' kümelerinin ortak elemanlarından oluşur. Dolayısıyla $A' \cap B' = \{1, 5, 7\}$ olur.