🧮 Asal Sayılar Nedir?
Asal sayılar, sadece 1'e ve kendisine bölünebilen, 1'den büyük pozitif tam sayılardır. Yani, bir sayının asal olması için sadece iki farklı pozitif böleni olmalıdır: 1 ve kendisi.
- 🔑 En küçük asal sayı: 2'dir.
- ✔️ 2'den başka çift asal sayı yoktur. Çünkü tüm çift sayılar 2'ye bölünebilir.
- 🤔 1 asal sayı değildir. Çünkü sadece bir böleni vardır (kendisi).
İlk birkaç asal sayı şunlardır: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...
❓ TYT'de Asal Sayılarla İlgili Ne Tür Sorular Çıkıyor?
TYT matematik sınavında asal sayılarla ilgili sorular genellikle temel kavramları anlamayı ölçer. Bu sorular:
- ➕ Asal çarpanlara ayırma: Bir sayıyı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazma.
- ➗ Bölen sayısı bulma: Bir sayının pozitif bölen sayısını bulma.
- 🔗 Asal sayılarla ilgili temel özellikler: Asal sayıların tanımını ve özelliklerini kullanma.
- 💡 Problem çözme: Asal sayıları içeren problemleri çözme.
✍️ Çıkmış TYT Soruları ve Çözümleri
🧮 Soru 1 (2020 TYT)
a, b ve c birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere,
$A = a^2 \cdot b \cdot c$
şeklinde yazılabilen A doğal sayısına "süper sayı" denir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi süper sayıdır?
A) 144 B) 162 C) 180 D) 216 E) 252
Çözüm:
Verilen tanıma göre, bir sayının süper sayı olabilmesi için asal çarpanlarına ayrıldığında bir asal sayının karesi, bir asal sayının kendisi ve bir diğer asal sayının kendisi şeklinde olması gerekir.
- ✔️ A) 144 = $2^4 \cdot 3^2$. Bu süper sayı değil.
- ✔️ B) 162 = $2 \cdot 3^4$. Bu süper sayı değil.
- ✔️ C) 180 = $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$. Bu süper sayı değil. Çünkü iki tane asal sayının karesi var.
- ✔️ D) 216 = $2^3 \cdot 3^3$. Bu süper sayı değil.
- ✔️ E) 252 = $2^2 \cdot 3^2 \cdot 7$. Bu süper sayı değil. Çünkü iki tane asal sayının karesi var.
Ancak soruda bir hata var gibi duruyor. Şıklarda süper sayı tanımına uyan bir sayı yok. Doğru cevap, sorunun orijinalinde farklı olabilir. Şıkları düzelterek devam edelim:
Eğer şıklar şöyle olsaydı:
A) 200 B) 75 C) 98 D) 45 E) 50
O zaman çözüm şöyle olurdu:
- ✔️ A) 200 = $2^3 \cdot 5^2$ (Olmaz)
- ✔️ B) 75 = $3 \cdot 5^2$ (Olmaz)
- ✔️ C) 98 = $2 \cdot 7^2$ (Olmaz)
- ✔️ D) 45 = $3^2 \cdot 5$ (Süper Sayı!)
- ✔️ E) 50 = $2 \cdot 5^2$ (Olmaz)
Bu durumda cevap D) 45 olurdu.
🧮 Soru 2 (Benzer Bir Soru)
x, y ve z birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere,
$K = x \cdot y^2 \cdot z$
şeklinde yazılabilen K doğal sayısına "özel sayı" diyelim. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi özel sayıdır?
A) 12 B) 18 C) 24 D) 28 E) 32
Çözüm:
Verilen tanıma göre, bir sayının özel sayı olabilmesi için asal çarpanlarına ayrıldığında bir asal sayının kendisi, bir asal sayının karesi ve bir diğer asal sayının kendisi şeklinde olması gerekir.
- ✔️ A) 12 = $2^2 \cdot 3$. (Özel Sayı!)
- ✔️ B) 18 = $2 \cdot 3^2$. (Özel Sayı!)
- ✔️ C) 24 = $2^3 \cdot 3$. (Olmaz)
- ✔️ D) 28 = $2^2 \cdot 7$. (Özel Sayı!)
- ✔️ E) 32 = $2^5$. (Olmaz)
Bu soruda birden fazla seçenek özel sayı tanımına uyuyor. Soruyu biraz daha zorlaştıralım:
x < y < z olması koşuluyla, aşağıdakilerden hangisi özel sayıdır?
Bu durumda:
- ✔️ A) 12 = $3 \cdot 2^2$. x > y koşulunu sağlamaz.
- ✔️ B) 18 = $2 \cdot 3^2$. x < y koşulunu sağlar. Bu durumda z olmaması sebebiyle olmaz.
- ✔️ C) 24 = $2^3 \cdot 3$. (Olmaz)
- ✔️ D) 28 = $7 \cdot 2^2$. x > y koşulunu sağlamaz.
- ✔️ E) 32 = $2^5$. (Olmaz)
Bu haliyle de soruda hata var. Şıkları düzenleyerek bir tane doğru cevap olacak şekilde ayarlayalım:
x < y < z olması koşuluyla, aşağıdakilerden hangisi özel sayıdır?
A) 50 B) 75 C) 98 D) 150 E) 245
- ✔️ A) 50 = $2 \cdot 5^2$. z yok, olmaz.
- ✔️ B) 75 = $3 \cdot 5^2$. z yok, olmaz.
- ✔️ C) 98 = $2 \cdot 7^2$. z yok, olmaz.
- ✔️ D) 150 = $2 \cdot 3 \cdot 5^2$. x=2, y=5, z=3. y > z koşulunu sağlamaz.
- ✔️ E) 245 = $5 \cdot 7^2$. z yok, olmaz.
- ✔️ F) 30 = $2 \cdot 3 \cdot 5 = x \cdot y \cdot z$ (Özel sayı tanımına uymuyor.)
- ✔️ G) 54 = $2 \cdot 3^3 = x \cdot y^3$ (Özel sayı tanımına uymuyor.)
- ✔️ H) 63 = $7 \cdot 3^2 = z \cdot y^2$. Eğer x=2 olsaydı, 63 * 2 = 126 sayısı özel sayı olurdu.
Doğru cevap: 126 = $2 \cdot 3^2 \cdot 7$. (x=2, y=3, z=7 ve x < y < z koşulunu sağlıyor.)
✍️ Pratik İpuçları
- ✔️ Asal çarpanlara ayırma alıştırmaları yapın: Ne kadar çok alıştırma yaparsanız, o kadar hızlı olursunuz.
- ✔️ Temel asal sayıları ezberleyin: İlk 20-30 asal sayıyı bilmek size zaman kazandırır.
- ✔️ Soruları dikkatlice okuyun: Sorunun ne istediğini tam olarak anlamadan çözüme başlamayın.
- ✔️ Farklı çözüm yöntemleri deneyin: Bir soruya takılırsanız, farklı bir yaklaşım deneyin.
